什么是多变量微积分中的核心，偏导数、偏微分以及全微分？ 今天我们来学习几个多变量微积分中的核心概念，偏导数、偏微分以及全微分。从推导过程来看，我们应该是知道了偏导数，然后求出偏微分，再根据偏微分去求出全微分。由此可见求出权威分是最终的目的。 那为啥要去求这个权威分呢？它的几何形象又是什么呢？下面我们就来看一看，先拿掉前面这个全字，微分这个概念在单变量微积分中我们就接触过它。比如这里用来近似X零点附近曲线的直线，就被称为该曲线在X零点的微分。当自变量从一个变为两个，那么要近似的对象就从曲线变成了曲面。此时如果曲面在X0Y0点附近的图像可以用一个平面来近似，那么这个平面就称为曲面在X0Y0点的微分。为了和单变量微积分中的微分有所区别，又将它称为全微分。 那如何寻找出这个平面呢？先来讲讲思路。首先我们知道曲面实际上是由曲线构成的，那么我们要近似词典附近的曲面，其实就是要近似过词典的这些曲线。而前面我们说了，曲线可以用直线来近似，这样我们要找的平面就应该是由这些直线所构成的。而我们又知道两条相交直线就能决定一个平面，因此我们要做的事情就变成了以下三个，找到某曲面上方便计算的两条曲线，然后求出这两条曲线的微分，最后再根据这两条微分确定出要寻找的平面。接下来我们就逐一完成这三件事情。 首先找两条曲线，出于简化计算的目的，一般会选择过词典且平行于X轴的曲线，以及过此点且平行于Y轴的曲线。这两根曲线的微分分别被称为曲面在词典对X的偏微分和曲面在词典对Y的偏微分，他们也被统称为偏微分。接下来的任务就是求出这些偏微分，这就需要写出两条曲线的代数式。由于两条曲线的求解方法类似，因此这里就仅以平行于X轴的曲线为例来进行讲解。为了后面讲解方便，这里把图像换个角度展示。 显然平行于X轴的这条曲线可以看作平面Y等于Y0与曲面的交线，且曲面在词典的偏微分也在平面Y等于Y0上。由于曲线和其微分都在这个平行于X轴的平面上，所以我们可以把它们都转到XOC平面上去处理。由于这个平面是Y等于Y0，因此这条曲线其实就是FXY0。那么我们要求的这条直线其实就是函数FXY0在X0处的微分。 显然要完成这个求解，首先就要求出曲线。在词典的导数，由于Y0是常数，因此变量就只剩下了X那么词典的导数就可以用单变量的方法求出。在多变量微积分中，这个导数就被称为函数在X0。Y零点对X的偏导数，其完整定义如下，可以看到这里出现了两个新的表达式，它们都可以读作F在X0。 Y零点对X的偏导偏导确定后，我们要求的偏微分也就很好确定了，它就应该等于偏导数乘以自变量的增量DX这样我们就求出了曲面，在此点对于X的偏微分。同样的方法还可以求出曲面。在词典对于Y的偏微分，现在两条直线都求出来了，下面就该求由他们决定的平面了。由于这个平面的求解过程涉及到线性代数的知识，所以这里我们就只是简单的介绍一下思路。想要了解细节的同学可以去看一下我们的文字版。 首先我们根据偏微分求出两条直线的方向向量，然后对它们进行差级运算，运算的结果即为平面的法向量。现在有了平面上的一个点，又有了平面的法向量，那么我们就可以根据点法式得到结果。最后求得平面表达式为函数对X的偏微分加上函数对外的偏微分，这就是全微分的表达式。
