不一样的加法竖式：如图一，

图一

A+AA+AA=206，其中A为自然数，求A=？

该加法竖式、难在10进制下无解！见下文注1。

问题：①何种情形有解？②有多少个解？

下文文将详细说明该加法竖式有唯一解，在9进制下A=8！

一、10进制、非10进制的相关知识

10进制数即“满10进1”。令A、B、C、D均为小于10的自然数，则10进制四位数ABCD=A×1000+B×100+C×10+D，本质上为整系数四次多项式”f(x)=Ax⁴+Bx³+Cx²+D在x=10时的函数值f(10)。

a进制数即“满a进1”，其中a≥2为自然数。令A、B、C、D均为小于a的自然数，则a进制四位数ABCD=Aa⁴+Ba³+Ca²+D。

注1、在10进制下，图一加法竖式等价于一元一次方程：23A=206的自然数解问题。显然，无解！

注2、在a进制下，AA=A×a+A，206=2×a×a+6，其中A＜a，故图一加法竖式等价于二元二次不定方程：2Aa+3A=2a²+6的自然数解问题，由“和数”206可知，a＞6。

直接求解此不定方程的难度非常大！比较而言，利用非10进制加法“满a进1”求解则相对简单！

二、解析：a进制、a未知！

①加法竖式中三数的个位数字之和A+A+A的取值有3种可能：2a+6、a+6、或6。

若A+A+A=6，则A=2，从而A+AA+AA=46≠206，故此情形无解、舍弃！

若A+A+A=a+6，则三数之和的个位为6且进1位，从而由A＜a可知，三数的十位数字和为A+A+1＜2a无法进2位，也即三数之和的百位数必不等于2，故此情形无解，舍弃！

因此，只需考虑A+A+A=2a+6情形，加法竖式、是否有解即可！

②加法竖式有解的必要条件为：A+A+A=2a+6有自然数解即2a+6能被3整除！

由此可知，当a能被3整除时，加法竖式才可能有解！

由于7、8不能被3整除，故在7或8进制下，加法竖式无解！

当a=9时，A+A+A=2a+6=24，求得A=8。此时三数之和的个位为3×8-2×9=0并进2位，十位为2×8+2-2×9=0并进2位，也即当a=9且A=8时，A+AA+AA=206。因此在9进制下A=8满足加法竖式！

③令a=3k，其中k≥4为自然数。由A+A+A=2a+6=6k+6，求得A=2k+2。

此时三数之和的个位为6并进2位，故三数的十位数字和为A+A+2=4k+6。由A＜a和k≥4可得A+A+2=4k+6＜6k=2a，即三数之和的十位无法进2位，从而百位不等于2。故此情形加法竖式无解！

④由②可知a进制下，当a不能被3整除时，竖式无解！由③可知a进制下，当a能被3整除且a≥12时，竖式无解！

因此仅在“9”进制下加法竖式有解A=8！

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