这是一道八年级数学竞赛题：如图一，

图一

乍一看，还以为题目错了！2个方程，咋求3个未知元？

切入点：方程②-8x+6y-24z=52系数满足4²+3²+12²=13²且52=13×4。

下文给出多种解析方法，仅供参考！

不超纲解析：配方，适合初中生！

1）方程①-方程②×2/13，可得

x²+y²+z²-(-8x+6y-24z)×2/13=-4。

2）依据切入点，配成完全平方和，可得

(x+8/13)²+(y-6/13)²+(z+24/13)²=0。从而求得

x=-8/13，y=6/13，z=-24/13。

超纲解析之一：柯西不等式，适合高中生！

柯西不等式：(∑aᵢbᵢ)²≤(∑aᵢ²)(∑bᵢ²)，等号成立当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=…=aₙ/bₙ。

1）由方程②可得

(4x-3y+12z)²=676。

2）由方程①和切入点可得

(4²+3²+12²)(x²+y²+z²)=676。

3）由1）和2）可得

(4x-3y+12z)²=(4²+3²+12²)(x²+y²+z²)。

由柯西不等式可知，必有

x/4=-y/3=z/12。

将其代入方程②，可求得

x=-8/13，y=6/13，z=-24/13。

超纲解析之二：曲面方程及平面方程，适合高中生、大学生！

1）方程①表示：球心在原点、半径为2的球面。

2）方程②表示：法向量为(-8，6，-24)的平面。

3）由点到平面的距离公式，可求得得原点到平面的距离为：

d=｜52｜/√(8²+6²+24²)=2，

即已知平面②为圆面的切平面。

4）求切点！设切点P₀为(x₀，y₀，z₀)，记原点为O，则向量OP₀=(x₀，y₀，z₀)与法向量平行，即有

x₀/8=-y₀/6=z₀/24。

切点必在切平面上，即(x₀，y₀，z₀)满足方程②。将x₀/8=-y₀/6=z₀/24代入方程②可求得切点为：

(x₀，y₀，z₀)=(-8/13，6/13，-24/13)。

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