收敛数列一定有界。本质就是收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）有界数列不一定收敛，（反例，数列｛（-1)^n}是有界的，但它却是发散的。）数列收敛指的是数列有极限。我们把极限存在的数列称为收敛数列，把极限不存在的数列称为发散数列。

数列极限定义

设{Xn}为一数列，如果存在一个实数a，对于∀ε>0，∃N∈N+，使得当n＞N时，有|Xn-a|＜ε，那么就称为数列{Xn}收敛于a，实数a称为数列{Xn}的极限，如果实数a不存在，就称数列发散。

有了数列极限的定义，我们很容易得到下面的3个结论

①、收敛数列的极限必定唯一。

②、收敛数列必定有界。

③、设数列{Xn}，{Yn}是两个收敛数列，若{Xn}收敛于a，{Yn}收敛于b，且a＜b，那么∃N∈N+，当n＞N时，就有Xn＜Yn。

关于上面结论很容易证明，下面我们将简单证明一下

证明①

我们设数列{Xn}有两个极限，分别为a、b，并设a＜b，并取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到∃N∈N+，当n＞N时，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，∃N'∈N+，当n＞N'时，有| Xn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取n＞max{N，N'}时，就得到上面都成立，这样我们就会分别得到Xn＜(b+a)/2与Xn＞(b+a)/2，然而这是不可能的，因此可得a=b。

证明②

设数列{Xn}收敛于a，并取ε=1，那么根据数列极限定义，有∃N∈N+，当n＞N时，就有| Xn-a|＜1，得到a-1＜Xn＜a+1，而对于前面有限项，必有最大项于最小项，因此由上面的讨论知，存在正数M，使得对于任意的n，有|Xn|＜M，因此数列有界。

证明③

取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到∃N'∈N+，当n＞N'时，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，∃N''∈N+，当n＞N''时，有| Yn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取N=max{N'，N''}时，就得到上面都成立，这样我们就得到当n＞N时，就有Xn＜(b+a)/2与Yn＞(b+a)/2，即得证。

由上面的结论③我们还可以推得常用的性质，把上面③的数列{Xn}与{Yn}分别当做常数数列0，例如，把数列{Xn}作为常数项0数列时，我们得到，设{Yn}收敛于b，且0＜b，那么∃N∈N+，当n＞N时，就有Yn＞0。

数列有界和数列收敛的一些常用性质

1、数列收敛必有界，但数列有界不一定收敛。即，数列有界是数列收敛的必要不充分条件。

2、发散数列有可能是有界数列，有界数列也可能是发散数列。如：1，-1，1，-1，……为发散数列，同时也是有界数列。

3、无穷小数列一定是收敛数列和有界数列；无穷大数列一定是发散数列和无界数列，并且一定不是收敛数列。