线性空间是一个集合V，配合两种二元运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件‌：‌12

‌向量加法的封闭性‌：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍在V中。‌标量乘法的封闭性‌：对于任意标量a和向量v，它们的积av仍在V中。‌加法交换律‌：u+v=v+u。‌加法结合律‌：(u+v)+w=u+(v+w)。‌存在零向量‌：存在一个零向量0，使得v+0=v。‌加法逆元‌：对于任意向量u，存在向量v，使得u+v=0。‌标量乘法的单位元‌：1v=v。‌标量乘法的结合律‌：(ab)v=a(bv)。‌对向量加法的分配律‌：a(u+v)=au+av。‌对标量加法的分配律‌：(a+b)v=av+bv。

‌线性空间的元素称为向量。

设X是一个集合，是X的子集族（其元素称为开集），则(X,)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和X是开集，

2.任意开集的并是开集，

3.有限个开集的交是开集。

这时，X中的元素称为点。我们也称是X上的一个拓扑。

由以上定义看到，线性空间的元素是向量，而拓扑空间的元素是集合。

线性空间中的任意一个元素可以通过其它向量间的线性运算（加法和数乘运算）得到，而拓扑空间的元素可以通过其它集合间的交并运算得到。