简单函数和可测函数之间的关系在于，任何一个可测函数都可以被分解为简单函数的和与差。这个分解的原理来自于微积分中的积分定理，即对于一个连续函数，其在某个区间上的积分等于其所有小矩形的面积的总和。

简单函数一定是可测函数。‌这是因为简单函数的定义和性质决定了它在每个可测集上取值都为常数，满足可测函数的定义。

简单函数的定义是将定义域划分为有限个不相交的集合，在这些集合上函数取值为常数。这种性质使得简单函数的和、差、积以及与常数的乘积仍然是简单函数。因此，简单函数的性质保证了它可以表示为常数乘以特征函数的形式，而特征函数是可测的，从而简单函数也是可测的‌。

可测性的定义: 如果两个函数 f,g 的差 f-g 是可积函数，那么 f,g 就是可测函数。

简单函数的性质: 简单函数是指它可以表示成为一个常数乘以另一个函数的形式，即 f(x) = cg(x), 其中 c 是常数。

简单函数是可测函数的证明：

首先给出两个简单函数 f(x)=c1g1(x) , g(x)=c2g2(x)

那么 f(x)-g(x) = c1g1(x) - c2g2(x) = (c1-c2)g2(x)

可以看出这个差是一个常数乘另一个函数的形式，根据可积函数的定义，这个差就是可积函数，那么 f,g 就是可测函数。

总结一下证明过程，简单函数的差是可积函数，说明简单函数是可测函数。

需要注意的是，虽然简单函数和可测函数之间存在紧密的联系，但它们并不是同一个概念。简单函数是那些在可测集上取常数值的函数，而可测函数则是定义在可测集上的任何实值函数。

‌特征函数一定是可测函数，因为特征函数满足可测函数的定义。‌ 特征函数是指对于集合Ω的子集A，其特征函数χA是Ω上的实值函数，满足以下条件：

对于任意的实数a，集合A={x∈Ω:χA​(x)≥a}是可测集‌。

特征函数之所以一定是可测函数，可以从其定义出发进行证明。

根据特征函数的定义，对于任意的实数a，集合A={x∈Ω:χA​(x)≥a}是可测集。这是因为特征函数在集合A上取值为1，在补集Ω∖A上取值为0，而1和0都是可测的常数函数‌。