2024届天津耀华中学高三开学考的试卷在网上已经可以看到了，这里说说最后一题的最后一问的背景，相关题目与另解。先看题目如下：

最后一问这个样式其实在2010年左右的一个材料中就提到过，其实就是卡特兰恒等式，以该恒等式为背景可以编出一系列题目，这里摘抄如下：

可以看到，形式和开头题目非常类似，这些题目其实都和ln2这个数字有关：

从上边的材料可以看到如何证明开头题目右侧的不等式，关于这个不等式也是2013年全国大纲卷理科数学最后一题的样式：

这里使用对数平均不等式给出这个不等式的另一种解法，如下：

这样即可得证。而开头题目左侧不等式也可以使用对数平均不等式来解答：

而2023年天津高考数学试卷中其实也考察了这个关于ln(1+1/n)的展开，在笔者之前文章《从计算自然对数表的方法看2023年天津高考压轴题是如何源于教材高于教材》有所提及：

利用该展开的表达式即可证明题目23年天津压轴题左侧的表达式。

天津耀华中学这道题目还有一些变式(分式数量变多)，如下：

可以说，这道题目的涉及面还是很广的，最后附上整套试卷：