泛函的变分在数学中有着广泛的应用和重要的意义，它不仅是微积分的一个自然扩展，还是许多数学分支的基础。
首先，泛函的变分扩展了微积分的研究范围，使其能够研究更复杂的函数类，例如无限维空间中的极值问题和最优控制问题等。
其次，泛函的变分理论在偏微分方程、概率论等多个数学分支中都发挥着基础性的作用。在概率论中，我们也经常需要找到一个随机变量的概率分布，使得某种期望值最大或最小，这个期望值也是通过泛函的变分来定义的。
此外，泛函的变分还为我们提供了一种强大的工具，即变分法。变分法是一种寻找函数的极值或最优解的方法，它通过求解欧拉-拉格朗日方程来找到使泛函取得极值的函数。
泛函的变分不仅是数学研究中的一个重要概念，而且在实际应用中也具有广泛的价值和意义。
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
对照网络一篇文章的说明：
这里
以下是关于泛函极值的变分表示定理：
再由（4）式，便可得到（5）式。
