切矢量场是指在流形上的每一点处指定一个切矢量，从而形成的一个映射。具体来说：

定义：切矢量场是将流形上的每个点映射到该点的切空间中的一个矢量。在一个n维流形 上，如果给定一个函数 ，则可以计算出沿着某个方向 的方向导数。这些方向导数实际上形成了一个向量，称为切矢量。类似地，在整个流形上定义一个切矢量场，即对于流形上的每一个点，都存在一个与之对应的切矢量。光滑性：如果切矢量场中的每个分量都是光滑函数，则称这个切矢量场为光滑切矢量场。平滑性确保了场的连续性和可微性，这对于物理应用非常重要，如描述电场、磁场等。坐标基矢场：在局部坐标系中，坐标基矢场是构成光滑切矢量场的一种特殊形式。每个坐标基矢场对应于一个特定的方向（例如，在三维欧几里得空间中，x, y, z 方向）。积分曲线：对于给定的切矢量场，可以通过求解一阶常微分方程来找到其积分曲线。积分曲线上的每一点的切矢量都等于该点处矢量场的值。对易子：两个切矢量场之间的对易子是一个新的切矢量场，它反映了这两个场之间的相互作用。特别地，任一坐标系的任意两个坐标基矢都对易，这意味着它们之间没有相互作用。数学性质：矢量场可以视为把函数变换成另一函数的映射。通过矢量场对易子的定义，可以研究矢量场的代数结构和几何意义。

切矢量场的概念在微分几何和广义相对论中有广泛的应用，它提供了一种描述空间中各点附近变化的方式，使得我们可以研究更复杂的几何结构和物理现象。