今天下午，天津市河西区举行了2024届高三三模数学考试，这里简单分析几道题目的拓展溯源及另解，先看最后一道题目：

这道题目其实就是组合数和数列的结合，笔者去年文章《从组合数的角度看2023年天津市南开区数学一模第19题第三问》中曾介绍过组合数和数列类型题目，看来今年河西区是学习了南开区去年的风格！解这道题目的关键是如下一个求和表达式：

知道这个后这道题目就很好解答了！和这个求和表达式类似的有以下两个表达式，或许还能编出一些题目：

再来看第18题！如果说第20题还是有些类似2023年南开区一模19题的话，那这道18题基本上就是照搬2023年南开区一模18题，河西区这道题目如下：

而20232023年南开区一模18题题为：

可以看到，就是换了一个提问方式。这两道题目都是来自2008年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛的第16题：

解答过程如下：

这个解答过程正好也把2024年河西区18题解答了！

下面再来看14题：

这道题搜题软件上给出的是做辅助线解，不过笔者觉得这道题目其实包含了复数和向量结合的内容，这部分在教材上有所体现：

所以可以有以下解法：

最后再来看解三角形的题目：

这道题目通常是送分题，不过这次第一问似乎就不太好解答，这里如果知道正弦平方差公式就会相对好解一些：

关于正弦平方差公式，可见笔者之前文章《2019年全国高中数学联赛一试第9题另解》。

总的来说，这次河西三模的题目对很多学生可能不是“很友好”，很多知识点都是教材里“犄角旮旯”的知识点！不过笔者觉得这也是非常逼真的模拟，因为去年天津高考题目就和平时练的非常不一样，在这种心态下答题才能更好的接近“实战”！另外这次河西三模把数列放在最后一题，上一次天津高考数列作为最后一题还是2011年，不知道今年会不会和2011年一样，这个再有十多天就知道了！

最后，再次提醒一下考生，要多重视教材，不要忽略教材上的任何内容！