第一可数空间和第二可数空间，不外乎就是“数得清”和“比较灵活”之间的关系罢了。
第一可数空间，其实就是指空间里，每一个点的邻域都能用可数个开集表示。第二可数空间是指空间的拓扑基（就是一组开集），它也是可数的。也就是说，空间里的“构成元素”少到能数清，可以用这些元素来覆盖整个空间。
这俩之间的关系不完全一样。第二可数空间一定是第一可数空间，但第一可数空间不一定是第二可数空间。即第二可数空间能通过少量的开集来表示，而第一可数空间每个点的邻域也能用可数个开集来表示。
区别在于，第二可数空间的定义更严格一点，它要求拓扑基的开集集合是可数的，这让它的结构显得更清晰。而第一可数空间则是给了每个点更多的“自由”，虽然可以数清楚他周围的邻居，但这些邻居可能在不同的区域间分布不均匀，所以它给人一种“有点儿松散”的感觉。
实数下限拓扑空间是第一但不是第二可数空间的例子：
第一可数性证明：实数下限拓扑空间有一个基，对任意点，其邻域基可数，因此满足第一可数性。可分性证明：在该空间中，存在可数稠密子集，因此空间是可分的。非第二可数性证明：假设存在一个可数基B，但对于任意点，总存在B中的元素使得特定条件成立。由于实数集不可数，因此B也不可数，与第二可数空间的定义矛盾，所以不是第二可数空间。实数下限拓扑空间的定义如下：定义：设B={[a,b): a<b}构成R上的一组基，这组基生成的拓扑称为R上的下限拓扑。实数下限拓扑空间不是第二可数的原因是：实数下限拓扑空间中的基元素是不可数的。
实数下限拓扑空间是第一可数的证明：
实数下限拓扑空间Rl不是第二可数的证明：
综上，实数下限拓扑空间满足第一可数性和可分性，但不满足第二可数性。
