2023年剑桥大学针对高中生自主招生考试试卷中有一道简单数论和代数相结合的题目，如下：

题目的第一问虽然是证明，其实就是整理分式，并根据整理后的因式情况求出正整数x和y的值，解答如下：

其实这种整理的方式也可以用来求解基本不等式的题目，比如下面这样的题目(当然更多是用凑一法)：

第二问是已知p和q都是质数，n是正整数，要证明随后的表达式并解释一下为什么p+q=n+1，并求出可能的p和q的值，解答如下：

第三问是p和q是正的，满足所给表达式，证明p+q-n<p,p+q-n<q，并证明p和q是质数时p^3+q^3-3pq^2不是一个整数的立方，解答如下：

笔者个人觉得这道题涉及到反证法，三次代数运算和数的整除性，稍微改动一下非常适合作为天津小卷考试题。当然，这个题目也可以作为高中生学习初等数论入门的题目，难度不是很大，不过需要有一定的逻辑分析能力！