坐标卡是流形上的一个局部坐标系，适用于微分几何。在微分几何中，流形是一个局部象n维线性空间的对象，因此可以对流形上的每一个点的开集建立对应的坐标系来描述开集中的每个点的坐标。这个坐标系被称为“坐标卡”，它是流形的局部坐标系。
坐标卡的基本概念和作用定义：坐标卡是一个有序对(U, φ)，其中U是流形M上的一个开集，φ是将U同胚映射到n维欧式空间的一个开集U'的同胚映射。作用：坐标卡用于描述流形的局部性质。通过坐标卡，可以将流形的局部性质与n维欧式空间进行对比，从而利用欧式空间的工具来研究流形的局部性质。
流形中的坐标卡，可以简单理解为在流形每一点附近的一个局部坐标系，这个坐标系与欧式空间的一个开集是同胚的。这意味着，对于流形上的任意一点，我们都可以找到一个包含该点的邻域，这个邻域与某个m维欧式空间Rm的一个开集之间存在一一映射关系，即同胚映射。这种映射关系允许我们将流形上的点映射到欧式空间中的点，从而将坐标值赋给了流形上的点，这里有序对(U, φ)起到了坐标系的作用，所以称为坐标卡。
以微分流形为例，微分流形是定义在Hausdorff空间中的一个拓扑空间M，对于M中的任意一点x，都存在一个包含x的邻域U，满足U与m维欧式空间Rm同胚。
此时，我们可以定义一个同胚映射φ→Rm，将U中的点映射到Rm中的点。对于流形上的任意一点x∈M，φ(x)就是x在Rm中的坐标。我们将(U,φ)称之为x点处的一个坐标卡。
举一个具体的例子，考虑二维球面S²。在球面的任意一点附近，我们都可以找到一个小的圆形区域（即邻域U），这个区域可以与二维平面R²的一个开圆盘同胚。通过定义一个同胚映射φ，我们可以将这个圆形区域上的点映射到R²中的点，从而为球面S²上的每一点引入坐标。这样，我们就得到了球面S²上的一个坐标卡。
考虑一个n维拓扑流形，它局部同胚于欧氏空间Rn。对于流形上的每一点，我们都可以找到一个同胚（即连续双射且其逆也连续）将该点的某个邻域映射到Rn的一个开子集上。这些同胚实际上就是流形的坐标图，它们构成了流形的坐标卡册。
具体来说，假设我们有一个2维拓扑流形，比如一个球面S²。对于球面上的任意一点p，我们都可以找到一个包含p的开邻域U，以及一个同胚φ: U → V，其中V是R²的一个开子集。这样，φ就为U中的每一个点提供了一个在R²中的坐标表示。当我们对球面上的每一点都这样做时，我们就得到了一系列同胚，它们共同构成了球面的坐标卡册。
这个坐标卡册允许我们在局部上像处理欧氏空间中的点一样来处理流形上的点，从而方便我们进行各种几何和拓扑的分析。需要注意的是，对于不同的流形和不同的点，坐标卡册的具体形式可能会有所不同。
在微分流形中，坐标卡册是由多个坐标卡组成的，每个坐标卡定义了一个局部坐标系。这些坐标卡在重叠区域通过特定的映射关系相互连接，但这些映射关系并不都是相同的。
