刚刚看到了一条很有趣的数学题，看似简单，实则不简单。 那就是0.9的无限循环是否等于1? 我相信，任何人看到这道题，都会坚决认为0.9的无限循环不过是无限接近1，而永远不可能等于1，所以1大。 现在竟然有人通过下图证明了0.9的无限循环等于1！这让我无法接受。这道题在证明过程中，一定是某个环节出了问题。请大家看看，到底是怎么回事。
刚刚看到了一条很有趣的数学题，看似简单，实则不简单。 那就是0.9的无限循环是否
红楼梦中赖晓伟
2024-07-12 00:08:40
1
阅读：17253
LOVE 挚爱一生
这个问题，拼夕夕最有发言权，
龍饱饱 回复 07-14 23:10
人才[作揖]
he56 回复 07-15 16:20
广西出人才的，一针见血
老林
不是这样证的。0.9循环=9/10+9/100+…+9/10n次方，等比数列求和=1-1/10的n次方，n趋向无穷，求极限和为1。
无语 回复 07-17 08:00
无限小数0.000……001，既然是无限，那么最后一位就不存在，如果存在最后一位数，那么就说明是有限小数而不是无限小数了，不论这个最后一位出现在哪里，只要出现，就不是无限，而是有限，那么和题意无限就矛盾了，所以只有1不存在，才会是无限小数，所以0.000……001=0.000……000=0
MC不倒陪你到老 回复 08-22 16:38
srds你有点急 拿出成绩 不要叫 0.99循环严格等于1
♥❤
相等而不相同。可以理解为不同数学领域下的不同写法 不同认知 不同意义，实质不一样，只是单纯数值大小一样。文字语言，严格解释，通俗的一句话，实数具有连续性和稠密性，所以在两个数在数轴上为同一点，大小相等。数学语言，利用极限求解证明，极限领域相等，已经说明两者处于大小相等，意义不同这样一种状态。
心、晴 回复 07-17 20:56
一个圆满，一个不圆满
邹行野 回复 07-22 01:00
这其实是人类对于无穷的定义bug而已。可以这么理解，但也要知晓两者不同
用户10xxx00
这两个数是相等的。如果不等，它们中间必定存在至少一个数。你举不出这个数！所以相等。
用户99xxx29 回复 07-23 15:09
就认同你这个答案 奇才[点赞]
KYTDJKFCG 回复 07-18 20:29
如果是相邻的两个数，那么在数轴上就可以把这两个数分开。 给你一条2米长的绳子和一把剪刀，把绳子从0.999...和1中间剪断。那么新的两条绳子1条为0.999...米，另一条为1米，两条加起来变成了1.999...米，剩下的去哪里了？
我乐哈哈
0.9循环就是等于1了。因为1除以3等于0.3循环，0.3循环乘以3却不等于1，而是等于0.9循环，那么剩下的0.00000001去哪里了？[捂脸哭]由此可证0.9循环等于1[捂脸哭]
大爷大妈给点儿吧 回复 偏执狂。 07-22 13:11
所以，请你先证明1/3=0.333循环，且后面没有0.000……01[抠鼻]1/3只是一个符号，就像π，你写不出π代表的具体数字，同样，你也写不出1/3代表的具体数字[doge]
偏执狂。 回复 07-22 13:06
三分之一+三分之一+三分之一等于多少[抠鼻]0.3循环+0.3循环+0.3循环等于多少。三分之一又是多少
消逝
还需要这样？直接1/3=0.333........ 3*1/3=1 3*0.333...=0.9999.... 所以1=0.999... 有毛病吗
用户10xxx07 回复 07-17 00:24
10/3余1，以此类推
似水流年 回复 用户10xxx07 07-17 14:20
这个说法就是不等，因为永远有余
lyda
小学就告诉你等于1，不信问问你的小学老师；那些说只是极限等于1的，我就问你0.9的9循环是一个常量还是变量？如果你认为它是变量，我认输，不跟你们争；那些说无限循环小数不能四则运算的，那√2，兀这种无限不循环小数能不能？实数还能不能？
.... 回复 07-21 08:57
奇才吧你，这是明显就不等的，还有，你丫妥妥上课就没认真听，老师说的是无穷大的时候才等于1[抠鼻]
lyda 回复 .... 07-25 12:14
你听课，你听的是体育课吧，是什么无穷大？？
BUG
10＊0.9999……理论上不等于9.9999……，因为虽然小數點后都是無窮位，但是兩個無窮位相差1位。
O_O 回复 07-15 11:30
好吧，你开心就好
Y滅de′信仰 回复 07-19 22:12
如果你能证明10*9.999……不等于9.9999999……，哪怕只是猜想，那也高低是个数学家了
老林
搞不清楚概念的，可能没学好求极限。
老萧
0.999…=0.333…×3=1/3×3=1
大爷大妈给点儿吧 回复 07-19 13:21
那我再问你一个问题[滑稽笑]：1÷3=1/3=0.33循环，1÷3*2=2/3=0.66循环，1÷3*2*2=4/3=1.33循环，但是你用0.66循环×2，能得到1.33循环吗？[抠鼻]除不尽的分数，本身仅仅只代表一个符号，就像π，1/3也是像π一样的符号，那你为什么要把1/3这样的分数，引进来证明你的结论？[doge]
老萧 回复 大爷大妈给点儿吧 07-20 14:26
0.666…×2=？你觉得是=1.222…吗？？？难道不是 1.333…吗？0.66×2=1.32，0.666×2=1.332，0.666…×2 不就是等于 1.333…吗？怎么就得不出来了？
kuk肉包苏
右边的0.9999已经不算是原来的x了，永远少一位
大爷大妈给点儿吧 回复 07-15 19:03
1-0.99999……=0.0000……001，你中间加几个9，我中间给你加几个0
用户46xxx41 回复 07-18 21:15
差一点就是差一点嘛，怎么能相等？！要这样搞是不是0.88888也等于0.99999，一直推下去0=1
用户10xxx32
用初等数学的理念去证明高等数学的命题，就跟用牛顿经典物理去理解量子力学理论是差不多的行为。[抠鼻]
猫眼历史 回复 07-14 12:10
怎么就不能证明，这个只是初等与高等衔接的内容，并不完全属于高等的内容。只需要明白初等数学里，每个小数都有一个相对应的分数表达形式这个概念，然后找到这个分数就可以证明。这样可以直接跳过数字稠密性这个坑
匆匆而过
论证第二步就错误了，后边的还有什么意义？10x0.9999什么时候等于9.9999了？
O_O 回复 07-14 20:38
1+0.1111...=10*0.1111....既1+1/9=10/9有什么问题？
匆匆而过 回复 O_O 07-15 12:04
10X0.1111…等于1.1111…（-0.000…1）
玉玲珑
从有限到无限不是简单的量的累加，而是发生了质的变化。用关于有限的理论和方法研究、理解无限是行不通的。0.999……=1.000……=1
凉冰
任何人？小编高中没上过吧？高中数学明确说了，就是＝1
高拉特的寓言 回复 07-12 18:21
现在是高中了吗？我们那时候是初中学的
用户10xxx81
数学本身无任何意义 只是表达一类物理规律 如果不相等 那就是兔子永远追不上乌龟了 但现实是追得上的 所以相等
独醉（陈）
按你这么说，1/∞ 是不是等于0了呢？
相交的平行线 回复 07-15 15:53
[得戚]
独醉（陈） 回复 07-15 12:44
0乘以∞=1 呗
刘涛
小学可以这么证明，大学就用数列极限思想
本立道生
学工科的会知道，如果你用尺子量长度1米，你绝对量不到精准的1米，只能量到接近的1米。这样就可以理解0.9的无穷就是相当于1
花开花落 回复 07-14 12:21
我还可以量到比1米长的，有时候量到1.003.这么一说1等下1.003？
灬 回复 07-14 10:59
误差和理论是有区别的
怕瓦落地
对∞进行任何运算都是耍流氓！
用户15xxx68
企图证明两者相等，纯粹是无事生非和自寻烦恼。其实0.9循环是1的另一种存在形式。所以证明两者相等，实际上就是在家静坐的你，就是昨天跑马拉松的你。
王锋
任何循环小数都可以用分数表示，有理数的两种不同表达而已，零点九的循环另一种表达就是一。
亚楼
你错了！0.9的无限循环就是1。
摩罗
无限循环是极限数，它不能用基本的代数进行运算
云哥
有啥怪的本来0.999无限循环在数学里就等于1
米颉尔顿
0.999999=1那么还要0.99999何用？
小灮
1/9=0.1111111111，2/9=0.2222222222，3/9=0.3333333333，4/9=0.4444444444，5/9=0.5555555555，6/9=0.6666666666，7/9=0.7777777777，8/9=0.8888888888， 9/9=？
stud_PAP 回复 07-23 12:07
评论区你的字数最多[捂脸哭][捂脸哭]
xin人
这个证明绝对有问题。按照规律10X，必然尾数为0
JYYX
x/3=0.3333...=1/3 所以x=1
小陈ZG
0.9循环<1永远不等于1
KYTDJKFCG 回复 07-18 18:25
我记得学高数的时候讲过: 如果0.9循环＜1，那么在数轴上就一定能找出一个数，这个数比0.9的循环大同时又比1小，请问你能找出这个数吗？
用户57xxx04 回复 KYTDJKFCG 07-21 04:49
元素周期表也是先出的表，再找到的相应元素反应啊！找不到那个数，有可能只是知识还不够，不代表那个数就肯定不存在啊！你不能说没找到真理，这世上就没有真理嘛！
用户18xxx73
1除以1
原来名字真的可以起很长啊
我也觉得很反直觉，但是就是等于1。因为找不出一个比0.9999循环大，比1小的数字来
零落成泥
一直都是1好么？小学就知道了……
阿连
我一看到这题就坚决的认为0.9的循环=1
Leadersen
拼多多会告诉你0.9999999999……=0
嗄呗
这个证明方法是错的。可以用确界定义证明，即证1为0.9……的上确界，也为0.9……的下确界。
阿宝raymond
谁告诉你0.9的无限循环乘10就是9.9的无限循环？
Sssss 回复 07-14 03:30
你再找个大学高数老师问问极限问题能不能这么算。
舍我其谁 回复 07-12 17:31
难道江苏的数学和其他地方不一样？
心不老的老王
提出这个问题的人一看就没上过大学，没学过高数。
木心
1/3*3=1，已证明
打印机奔驰
按命题逻辑 反证法：1=1.0000……1=1.000…2=………3=……4一直到1=1.000…9-0.999…9=0.0000…10＞0，所以命题不成立
用户12xxx97
算法中已经认为0.9999'等于1了，当然得到x等于1，即0.9999'等于1的结果[滑稽笑]
用户18xxx53
第二步就不能成立了
用户85xxx21
虽然是子子孙孙无穷匮也，但是爸爸比儿子还是要大一辈的
大爷大妈给点儿吧
我用小学生的知识就能打败你，因为我小学的时候就跟小伙伴思考过这个问题：比如1÷3=0.33，0.33×3=0.99，所以0.99=1吗？No No No，你忘了后面还有一个余数0.01，1÷3=0.33，余0.01！你把余数忘了！
风花雪月℃禄
令本身就有强加给的意思，人家不愿意相等你非得让人家相等[滑稽笑]。
第三方登录
0.000000……0001=0
且听风吟 回复 07-12 19:15
你把末位那个1写出来，这就是错的
用户51xxx53
无限接近，但不等于1，再怎证明也不相等。都是求极限，极限只是无穷接近，不是到达，数轴也是一个空心圆的1，而1是是实心圆的1。
风暴海燕 回复 07-12 16:32
无限循环自带极限属性。
嘿嘿嘿嘿 回复 07-12 18:26
无限接近就是相等呀兄弟
xuan485
怎么证明它极限也到不了1 但是差不多一装傻 它就等于1了
爱上甜馨 回复 07-14 15:04
你的数学还要学。3×1/3＝1的1是整数1，整数1与自然数1并无区别，因为整数包含自然数。
☆☆☆ 回复 爱上甜馨 07-15 08:30
对嘛，这个整数1含自然数1又不止自然数1，所以根本就不能这么比，
动漫专属
设无限大自然数为n，则1+n=n=2+n，所以1=2
Money
华罗庚是这样证明的：0.999999循环=1。 1÷3=0.3333333333循环。也等于1/3。 0.33333循环×3=0.9999循环。也等于3×1/3。 3×1/3=1。所以0.99990循环等于1。
朋友来了有好酒
10x=9+x最后一步不能直接得出9x=9，那8x=几？7ⅹ等于几，你设定x是0、9循环，就必须满足不同系数条件下得数相等，这里x是已知数，不是未知数
羞涩的漆黑莲月
1+2+3+4+5……=12。只不过是不同的数学方法表述而已。
浮桥～
这等式能成立的前提是0.9的无限循环等于0.09×10的无限循环，如果没有那个最后一位数，那确实相等，如果有，那这俩数会差了0.00....1，所以不相等。
用户10xxx36
你的证明都自相矛盾了，你开始就令X=0.9999循环了，假设未知数不可以为数字，只能是未知项。就算可以，你的推断是满足X=0.9999循环的前提下的，与结论X=1相冲突。
用户85xxx04
看到这个先想到的就是拼夕夕，给你无数次希望，再让你决望
猫眼历史
这个命题有多种方法证明它的成立，而且这个命题体现了数字的连续性和稠密性，牵扯到极限的概念，也是微积分的最底层逻辑之一
用户18xxx16
一块饼分成三等分，每份是0.3的循环，合在一起难道不是一块饼吗？
十三太饱
等于1/9，不等于1
生如夏花 回复 07-12 18:40
你这个更离谱，能不能去好好学一下小学数学再来说话
打印机奔驰
这是个假命题。 同样还有另一个假命题：有理数是无穷的，那就不存在无理数
探索永无止境
学过高等数学就不惊讶了
小陈ZG
伪命题
用户10xxx84
0.9循环=0.1循环+0.8循环=1/9+8/9=1
Tiny
就像光速，达到光速和无限接近光速是两个纬度的事
uc用户
无限循环数并不是一个真正的数，数轴上找不到这个数
冷眼看世间百态
论证是错误的，无限小数做乘法，得不出具体数字，这里是偷换概念，用极限概念就把事情说清楚了
千叶
这种证法有意义吗？
说出吾名丶吓汝一跳
著名京剧表演艺术家程蝶衣说过：差一年，一月，一天，一个时辰，都不是一辈子。。[抠鼻]
弹古典吉他的周周
这样求解是循环论证，错得离了谱
呆瓜小贼
x的确等于一。但是等于一不代表就是一。这里的x等于一其实是一份。一份代表0.9999999
UC网友10xxxx2846
0.9999上加一点/10不等于原x，差十倍
用户11xxx80
严证下来，这是错的。
78
你这个解题，只是证明了1=1而已。。。你看看你的假设和结论。。。。就知道了，
山大黑皇帝
9.9999的循环等于9+0.9999的循环？这步都错的
天涯聊体育
令0.99……=X，左边×10=9+X，右边10X，9+X=10X，X=1
csmyn
拼夕夕的老板请发言！
花无憾
学一下高数中的极限，就一目了然了！！！
花无憾 回复 07-14 12:32
无限接近于1，而不等于1。
司徒梦洛
9x+x才是10x，但10x不等于10，同理9不等于9x
骚官
0.9999/3＝0.3333，1/3＝0.3333，所以1＝0.9999
无奈躺平
本来就是等于1的
我唱的不够动人你别皱眉
你要解X就解X。要算式就算式。一会一元一次方程，一会又成算式，怎么弄你说了算那还证明什么
用户13xxx12
来，证明一下10*0.9999……=9.9999……[得瑟]不是应该10*0.9999……=9.999……吗？你现在仍然需要证明9.999……=9.9999……[笑着哭]其实你只是玩了个符号游戏，那我跟你更严谨地玩，这个游戏背后的极限概念与0.9999……=1并无本质区别
用户92xxx66
量变引起质变
逼死强迫症
稍微学习好一点，这都是简单到无以复加的知识点
杰 然一身
1/3=0.333循环 0.999循环=3*0.333循环 稍微读点书 上过大学 学过高等数学就不会为这事困扰了
天黑了，请闭眼
10×0.99999=9+0.99999是如何约变成9×0.99999=9的
打酱油路过
看似复杂，其实一点都不简单
物以类聚
你是假没X=0·9循环，最后推出X=1，证明你的假设错了。
呦呦切克闹
相等，但是不是这么证明的。
坐看云卷云舒
再证：0.1…=1/9，0.2…=2/9，…，0.8…=8/9，0.9…=9/9=1
用户10xxx66
这证明是真的误人子弟啊，照这证明，0.1的循环也等于1啊
用户10xxx37
证明错了，而且是第一步就大错特错的那种。10×0.9…9＝9.9…9这一步就错了，换句话来说这一步就是问题本身所需要证明的地方但解答之人直接给忽略掉了，如果这一步不能作出证明，后面全是废话，（无限循环上面的小点不知道怎么打出来暂且这样表达）
用户10xxx41
什么智障都有 差一点就是差一点 这就和证明一加一不等于二一样智障
老萧
6 有限，3 就有限，6 无限，3 就无限。
用户66xxx53
弱弱问句，如果这个证明成立，以后的无限就直接是最接近的那个实数（或者其他不是无限的数）？这样是不是都成立？
李星辉
本来就是相等的，我也可以证明：三分之一等于0.333……3两式同时乘3即可得原式
大海潮涌
根据四舍五入定理，0.999=1
用户12xxx86
有网友给出答案了，就是拼夕夕最有发言权
用户10xxx94
极限概念，lim(1/10)^n=0，原式=1-(1/10)^n。
从文明到野蛮
9x=9，这个等式不成立，就这样
落单孤鸿
1/3=0.3333333333，1=1/3+1/3+1/3=0.3333333333+0.33333333+0.33333333=0.99999999