考虑一个简单的例子，比如 f: R → R，定义为 f(x) = x^2。在这个映射下，R 的拓扑可以诱导出一个新的拓扑，称为商拓扑。

商拓扑‌是点集拓扑理论中的一个重要概念，主要用于通过映射构造新的拓扑空间。其核心思想是通过一个连续满射（称为商映射）将原拓扑空间中的点集“粘合”在一起，形成新的拓扑空间。

商拓扑的定义基于一个连续满射 q:X→Y，其中 X 是原拓扑空间，Y 是新的拓扑空间。在 Y 上定义的拓扑称为由 q 诱导的商拓扑。具体来说，如果 U⊆Y 是开集，那么q−1(U) 在 X 中也是开集。反之亦然，如果 V⊆X 是开集，那么q(V) 在 Y 中也是开集‌。

想象一个场景，比如你有一些形状相同的杯子，每个杯子可以看作是原拓扑空间中的一个点。现在你想通过某种方式将这些杯子“粘合”在一起，形成一个新的集合。这个“粘合”过程可以通过一个连续满射来实现，每个杯子（点）在新的集合中的位置由这个映射决定。新的集合上的拓扑结构就是商拓扑，它确保了在这个新集合中，通过映射得到的开集仍然是开集‌。

商拓扑在实际应用中非常有用，特别是在几何和物理中。

考虑一个线段，用集合 X=[0,1] 来表示它，然后再定义等价类：点{0}，{1}归为一类，其它的任一单点形成只有一个元素的等价类{x}。在这样的定义下，商空间X/~就相当于一个圆。从这根线段到这个圆的映射就是商映射q。按照上面的定义， U 和 q−1(U) 都是开集，因此，商空间（圆）上的一个开集在q下的原象也是原空间（线段）上的一个开集。从而，可以直观地认为商空间就是把等价类粘在了一起，而商映射则保证了两个空间中开集的传递。

再例如，考虑一个平面上的圆和直线上的点集。通过将圆上的点与直线上的点“粘合”，我们可以构造一个新的拓扑空间，这个空间在几何上表示一个圆环。在这个圆环上定义的拓扑结构就是商拓扑，它确保了在这个新空间中，通过映射得到的开集仍然是开集‌。

通过这种通俗的理解，商拓扑不仅在理论上具有重要意义，还在实际应用中提供了强大的工具来处理和分析各种几何和物理问题。