转载网络上一篇关于解释黎曼曲率的文章。

黎曼曲率提供了一种让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度方案。如果能够身处空间之中而发现这个空间的弯曲与否，是一件很了不起的事情。

比如有一条测地线，从更高维的空间看，它就是一条曲线，可以计算曲率等，但在原来的空间看是直的，测地线就是直线概念的一般化。

分析向量沿着闭合曲线平移后的变化的方案，如果一个向量移动一圈回来之后，它就不一定是原来的向量了。下图的例子就清晰表明了这一点。

这里只精确到二阶项。

这里

这就是黎曼曲率张量的定义式。

由上可见，黎曼曲率张量反映了同一个向量移动之后回到原点的变化程度。

这种变化应该是空间中存在曲率变化的原因。