克里斯托费尔符号（Christoffel symbols）是黎曼几何中的一个重要概念，用于描述在弯曲空间中向量的协变导数。它们是黎曼联络的联络系数，表示在给定坐标系下，向量在空间中移动时的变化率。
定义和性质克里斯托费尔符号不是张量，而是联络系数。它们分为第一类和第二类克里斯托费尔符号，用于描述在弯曲空间中向量的变化。在广义相对论中，时间和空间可以被视为弯曲的，这导致了测地线的概念，即在弯曲空间中最短的路径。
克里斯特菲尔符号中的g矩阵称为度量矩阵。
由曲面的第一和第二基本形式，得到
后两式相加减去第一式，得到：
图1
图2
注意上面求和符号代表的意义：
要注意的是图2中求和号
的后面为什么要乘以gkl，这是因为存在图1中的关系。对比下面的定义就清楚了：
符号中i,j,k的取值范围都是1到2。
克里斯托费尔符号在广义相对论中有着重要的应用。广义相对论描述了引力的几何效应，其中时空的曲率通过克里斯托费尔符号来描述。测地线方程，即自由粒子在弯曲时空中的运动轨迹，也涉及到克里斯托费尔符号。此外，在数学和物理学的其他领域，如微分几何和张量分析中，克里斯托费尔符号也扮演着关键角色。
