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老师在黑板上写下：证明π³＞31！

图一

班上所有同学都非常错愕、无一例外！同学们的第一反应是：这么显然，还要证明？

一、近似值法：适合中小学生！

前提了解π的近似取值，介于3.1415926与3.1415927之间。

由π的近似取值，可知π＞3.1415，从而π³＞3.1415×3.1415×3.1415＞31.003。

此方法严格来讲，并非证明只是近似计算。

二、面积法：适合中学生！

证明等价命题：π＞³√31！

单位圆的面积π恒大于其内接正n边形的面积Sₙ，即π≥Sₙ=n/2sin(2π/n)。数列Sₙ单调递增，其极限为π。

故只需选取恰当的充分大的n，使得Sₙ＞³√31即可。

在Sₙ=n/2sin(2π/n)的计算过程中，还要使用正弦、余弦的和差公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，

cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ。

三、严格证明：与π有关的级数！

高等数学中常见的与π有关的级数：

1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²…+1/n²+…=π²/6 。①

1/1⁴+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+1/5⁴…+1/n⁴+…=π⁴/90 。②

1/1⁶+1/2⁶+1/3⁶+1/4⁶+1/5⁶…+1/n⁶+…=π⁶/945。③

级数③×(1-1/2⁶)即得

1/1⁶+1/3⁶+1/5⁶+1/7⁶+…+1/(2n+)⁶+…=（1-1/2⁶）×π⁶/945=π⁶/960，

从而π⁶＞960×(1+1/3⁶)＞961，也即有π³＞31！

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