2024届天津市十二区重点校高三一模试卷已经可以在网上看到了，这里讨论一下最后两个题目的来源及一些相关背景，先来看第19题：

这道题目属于新型数列问题，其实是来自2023年长沙模拟题目：

长沙这道题目的解答过程如下：

这应该是继天津市和平区改编临川一中数列题、河西区改编安徽高考题之后，天津又一个区改编外省市的题目，看来改编外省市题目是今年天津模拟题的一个潮流。

天津十二区重点校的第20题是一道九省联考模式的题目，如下：

这道题的题干在2021届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳中学高三上期中数学试题中出现过：

天津十二校这里还是使用简略的符号来表示双曲正弦双曲余弦函数(sh,ch)，关于这两个函数及相关的关系式在人教版教材A版必修一的书后练习题中出现过(第6题)：

所以也可以说这道题目是来源于书后的教材。这道题目本质上还是使用了双曲函数的一个不等式进行放缩，最后以数列的形式表现出来：

即sh(2x)>2x>2sinx=2tanxcosx，关于这个不等式的更多介绍可参见笔者之前文章《简单聊聊双曲线与双曲函数以及和该函数相关的不等式》。

关于双曲函数不等式的题目其实不光国内有，国外也有，比如2014年和2023年剑桥大学自主招生试题中就出现过：

毕竟这个函数也是大学数学的一个基础，所以国内外针对高中考试都会涉及。最后附上整套试卷及19题和20题的标准答案：