这里参考B站一位老师的讲解，给出黎曼曲率的一种解释。

先看协变导数的定义。由于

通过

得到

上图中，假设一个向量从A点出发，经过B、C、D后又回到A点，此时原向量发生了变化，变化量是dV。假设这个变化存在如下性质：

这里的λ表示出发向量的编号，ρ表示到达向量的编号。比如

表示出发向量是V0(A点向量)，到达向量是V1(B点向量)。

如果是平直空间：

如果是曲面空间：

则要用到协变导数：

这里的▽u,▽v分别代表向量在水平方向和垂直方向发生的变化。

再与下式对比：

并代入协变导数

得到黎曼曲率：

所以黎曼曲率反映了向量在非平直空间移动后发生的改变程度。