‌黎曼流形‌是一种特殊的几何空间，其中每个点都有一个切空间，并且在这个切空间上定义了点积。这种空间允许我们计算弧线长度、角度、面积、体积、曲率等几何量。‌ 定义和性质黎曼流形是一个微分流形，其中每点的切空间都定义了点积，并且其数值随点平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。黎曼流形可以形式化地定义为一个二元组，其中是一个平滑流形，是一个定义在上的光滑对称正定的二次型场，称为黎曼度量。 应用领域黎曼流形在现代物理学中有着重要的应用，特别是在广义相对论中。它提供了研究弯曲空间几何性质的强大工具，能够处理更一般的弯曲空间。此外，黎曼流形在粒子物理学和其他数学领域也有广泛应用。 历史背景黎曼流形的概念源自19世纪德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯努利（Georg Friedrich Bernhard Riemann）的工作。他在论文《论作为几何学基础的假设》中提出了非欧几何和曲率的概念，这些概念对后续的数学和物理学研究产生了深远影响。