球面：是一个连通空间，没有孔洞，因此是单连通的。
环面：也是一个连通空间，但它有一个孔洞，因此是双连通的。
球面同胚到一张长方形的纸，环面是一张长方形纸，然后把对边等价起来。
单位圆盘和单位正方形单位圆盘D和单位正方形是同胚的。这意味着它们可以通过连续变换互相转化，而不需要撕裂或粘合。具体来说，可以通过将正方形的一边不断拉伸、弯曲，最终形成一个圆盘。
开区间(-1, 1)与实直线R开区间(-1, 1)与实直线R是同胚的。这意味着可以通过连续变换将开区间(-1, 1)映射到实直线R上，反之亦然。
拓扑空间同胚的定义和性质同胚是拓扑空间范畴中的同构，保持给定空间的所有拓扑性质。具体来说，同胚映射需要满足以下条件：
双射：既是单射又是满射。连续：映射函数f是连续的。反函数连续：反函数f^-1也是连续的同胚的定义如下：
从以上定义可以看到，两个拓扑空间同胚，意味着两个空间的每个集合存在一一对应的关系。
下面是个人对于球面与环面不同胚这个问题的简单理解：
由于单位圆盘D和单位正方形同胚，而环面中间的孔洞无论如何缩小，也一定存在一个洞，极限情况就是这个洞变成一个点，假设这个点就是原点。
所以，对于环面来说，至少存在正方形的原点在对应的环面里面找不到对应的像，也就是说正方形和环面之间不存在一一对应的关系，因而两者不同胚。而同胚关系是一种等价关系，按照传递原则，得到环面和球面不同胚的结论。
以上是个人理解，有问题欢迎批评指正。
