‌微分流形（differentiable manifold）‌，也称为光滑流形（smooth manifold），是拓扑学和几何学中一类重要的空间，具有微分结构。微分流形是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念‌。 定义和基本性质微分流形是一个局部同胚于欧几里得空间的Hausdorff空间。具体来说，对于一个微分流形M，对于任意一点x∈M，存在x的一个开邻域U和Rn中的一个开集V，使得U和V同胚。这种同胚映射称为坐标卡，一个流形可以由多个坐标卡覆盖‌。 Hausdorff空间，也称为豪斯多夫空间、分离空间或T2空间，是拓扑学中的一个重要概念。‌ 在Hausdorff空间中，任意两个不同的点都可以由它们的邻域分离‌‌。 即对于任意两个点p1和p2，存在p1的邻域U1和p2的邻域U2， 使得U1和U2的交集为空集（U1∩U2=∅）‌ 简单说，微分流形就是与Rn存在同胚关系的一个空间。 历史背景和应用微分流形概念的历史可以追溯到19世纪末，当时Klein对几何学及其分类进行了定义。微分流形在微分几何中研究微分流形在微分同胚变换下的不变性质。微分流形是研究连续空间的重要工具，广泛应用于物理学、几何学和拓扑学等领域。例如，在广义相对论中，时空模型被描述为一个四维伪黎曼流形‌。 数学定义和性质微分流形是一个Hausdorff空间，对于空间中的任意一点x∈M，都有x在M中的一个邻域U，满足与m维欧式空间Rm同胚。这种同胚映射可以将x的邻域U映射到Rm中的一个开集φ(U)。流形M的每个点都有一个坐标卡(U,φ(U))，多个坐标卡覆盖整个流形。如果这些坐标卡在重叠区域满足一定的相容性条件，则称M为一个m维微分流形‌。