法律分析：不可以的。同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。因此公司与员工之间签订了劳动合同已经对试用期做出了约定，就不得再以任何理由延长或者变更试用期。

员工试用期内请病假会影响到公司对员工进行用工上的考核，但是并不能因此就延长试用期。即使与员工之间协商达成一致，仍然违反法律规定的只能约定一次的规定。

法律依据：《企业职工患病或非因工负伤医疗期的规定》第三条企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，国家规定门诊病假最多开几天根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期：(一)实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月;五年以上的为六个月。(二)实际工作年限十年以上的，在本单位工作年限五年以下的为六个月;五年以上十年以下的为九个月;十年以上十五年以下的为十二个月;十五年以上二十年以下的为十八个月;二十年以上的为二十四个月。