非法邮寄枪支罪既遂应该承担的刑事责任有：非法邮寄枪支的，应该判三年以上十年以下有期徒刑；情节严重的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。单位非法邮寄枪支的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法判刑。

【本文关联的相关法律依据】

《中华人民共和国刑法》第一百二十五条

非法制造、买卖、运输、邮寄、储存枪支、弹药、爆炸物的，处三年以上十年以下有期徒刑；情节严重的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

非法制造、买卖、运输、储存毒害性、放射性、传染病病原体等物质，危害公共安全的，依照前款的规定处罚。

单位犯前两款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照第一款的规定处罚。