根据《中华人民共和国刑法》和《中华人民共和国刑事诉讼法》的有关规定，对刑事诉讼死刑复核通知规定如下：

（一）中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉，并经高级人民法院复核同意判处死刑的；高级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉的，和判处死刑的第二审案件；判处死刑缓期2年执行的罪犯，在死刑缓期执行期间，抗拒改造情节恶劣的，或者又犯新罪的，以及发现了判决时所没有发现的罪行的，经查证属实，由高级人民法院依法判决执行死刑的案件，都应当报送本院核准。

（二）凡报送死刑复核案件，必须做到犯罪事实清楚，证据确实、充分，适用法律正确，诉讼文书齐备。中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉的，高级人民法院在复核的时候，必须提审被告人，核对事实和证据。

（三）高级人民法院向本院报送死刑复核案件时，必须报送死刑案件综合报告和判决书（各十五份），一案一报，并报送全部诉讼案卷和证据。共同犯罪的案件，要报送全案的诉讼卷宗和证据。

（四）经过本院复核的死刑案件，按照下列情形分别进行处理：

1．原判决认定事实和适用法律正确、量刑适当的，由本院用裁定核准死刑，并由本院院长签发执行死刑的命令；

2．原判决事实不清楚或者证据不足的，由本院用裁定撤销原判，发回原审人民法院重新审判；

3．原判决认定事实没有错误，但是适用法律有错误，或者量刑不当的，由本院用裁定撤销原判，发回原审人民法院重新审判，或者由本院用判决直接改判。

（五）本院的执行死刑命令，由高级人民法院转达原审人民法院交付执行。执行后，由交付执行的人民法院将执行死刑情况（包括执行死刑前后的照片）及时逐级报告本院。但是，在执行前，如果遇有刑事诉讼法第一百五十四条、第一百五十五条规定的，应当停止执行或者应当暂停执行的情况时，交付执行的人民法院应当停止执行，并且立即将停止执行的原因用书面报告本院，由本院作出裁定。

（六）高级人民法院对全省、市、自治区审判死刑案件的工作，应当每年写出工作总结，报告本院。遇有重大问题，可随时报告。

（七）专门人民法院报送死刑复核案件，应当参照本通知的规定执行。

（八）本规定自1980年1月1日起执行。本院过去有关死刑案件报核问题的规定与本规定有抵触的，不再适用。