承担监理合同违约责任的方式包括继续履行、赔偿损失、采取补救措施、赔偿违约金、罚款等。根据2021年实施的《中华人民共和国民法典》相关规定，当事人不履行合同义务或者不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。当事人可以约定一方违约时，应当根据违约情况向对方支付一定数额的违约金，也可以约定违约造成的损失赔偿的计算方法。

【本文关联的相关法律依据】

《中华人民共和国民法典》

第五百七十七条当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。

第五百八十五条当事人可以约定一方违约时应当根据违约情况向对方支付一定数额的违约金，也可以约定因违约产生的损失赔偿额的计算方法。

约定的违约金低于造成的损失的，人民法院或者仲裁机构可以根据当事人的请求予以增加；约定的违约金过分高于造成的损失的，人民法院或者仲裁机构可以根据当事人的请求予以适当减少。

当事人就迟延履行约定违约金的，违约方支付违约金后，还应当履行债务。