如果宋朝没有投降蒙古，可能会有不同的结果发生。首先，宋朝的国家实力本身并不比蒙古强大，面对蒙古的大军压力，宋朝很难在军事上取得胜利。但是，如果宋朝选择抵抗蒙古入侵，他们可能会采取一些其他的策略来抵御蒙古的进攻。

首先，宋朝可以采取守势战略，设法延缓蒙古大军的进攻速度。他们可以采取防御性的战术，采用城池防御和弩箭射击等手段，尽可能地拖延蒙古军队的前进速度。由于蒙古大军的依赖快速的骑兵军队，拖延时间可能使蒙古军队面临更多的挑战和困难。

其次，宋朝可以与其他邻国结盟，以共同抵抗蒙古的入侵。宋朝可以寻求与南方的南宋建立更紧密的合作关系，共同抵抗蒙古的入侵。他们还可以寻求与其他周边国家，如琉球、高丽等国家的合作，共同对抗蒙古的侵略。

此外，宋朝可以采取分割瓦解的策略，利用蒙古军队的分散，从而在局部地区取得胜利。宋朝可以在蒙古军队进攻的地区分别进行抵抗，将蒙古军队分成几支独立的部队，然后采取合适的时机分别进行打击，以期达到分割瓦解的效果。

最重要的是，宋朝可以采取外交手段，与蒙古进行谈判，争取以和平方式解决冲突。宋朝可以通过外交手段，寻求与蒙古的对话和谈判，以维护自身的领土和权益，并争取蒙古帝国的尊重。

综上所述，尽管宋朝在军事实力上面临着巨大的挑战，但如果他们选择不投降蒙古，他们可以通过采取一系列的战略和外交手段来应对蒙古的入侵。这些策略可能不会改变蒙古势力的胜利，但它们可以增加宋朝对抗蒙古的机会，同时也为宋朝争取更好的条件和结果做出努力。