y等于根号x是幂函数。幂函数是基本初等函数之一。一般地,y=x^α(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。幂函数的一般形式是y=x^α,其中α可为任何常数,但中学阶段仅研究α为有理数的情形,α为无理数时,定义域为(0,+∞)。
幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。
取正值
当α>0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a、图像都经过点(1,1)(0,0);
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;
c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;0<α<1>
取负值
当α<0 y=x^a有下列性质>
a、图像都通过点(1,1);
b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;
c、在第一象限内,有两条渐近线,自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。
取零
当a=0时,幂函数y=xa有下列性质
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。(00没有意义)
定义域和值域
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定,即如果同时p为奇数, 则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时p为偶数,则函数的定义域为所有非零实数。
当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下
1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
2. 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
当a为分数时,a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性
①当a>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
②当a>0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递增;
③当a<0>
④当a<0>
幂函数幂函数的图象
①当a≤-1且a为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数
②当a≤-1且a为偶数时,函数在第二象限为增函数
③当a=0且x不为0时,函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)
④当0
⑤当a≥1且a为奇数时,函数是奇函数 。