协方差

在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

协方差定义

COV（X，Y）=E［（X-E（X））（Y-E（Y））］等价计算式为COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）。例如：Xi 1.1 1.9 3Yi 5.0 10.4 14.6E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

补充

协方差公式推导cov(X，Y)=∑ni=1(XiX)(YiY)n=E[(XE[X])(YE[Y])]cov(X，Y)=∑i=1n(XiX)(YiY)n=E[(XE[X])

协方差cov计算公式=cov(x，y)=EXY-EX×EY。协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差公式

Cov(X，Y)=E(((X-E(X))(Y-E(Y)))即Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)中 E（XY）怎么求

Q1：XY的联合分布可以这样理解

令Z=XY，因为X，Y各有4种取值，分别都是0，1，2，3.

那么Z就有如下取值：0(x取零时，y取任何值z都等于0；y取0时，x取任何值z都等于0)

所以 P{Z=0}={x=0时y取0，1，2，3的概率和}+{y取0时，x取1，2，3的概率和}

=0.22+0.16=0.38

P{Z=1}=P{x，y同时为1，Z才可能取1}=P{X=1，Y=1}=0.06

P{Z=2}=P{x=1，y=2}+P{X=2，Y=1}=0.07+0.07=0.14

P{Z=3}=P{x=1，y=3}+P{x=3，y=1}=0.03+0.04=0.07

P{Z=4}=P{x=2，y=2}=0.14

P{z=9}=P{x=3，y=3}=0.09

Z=XY| 0 1 2 3 4 9

p| 0.38 0.06 0.14 0.07 0.14 0.09

E(XY)=E(Z)=0*0.38+1*0.06+2.*0.14 +3*0.07+4*0.14+9*0.09=2.55