标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0）

ax^3+bx^2+cx+d的标准型

化成

x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0

可以写成

x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0

其中a1=b/a，a2=c/a，a3=d/a

令y=x-a1/3

则y^3+px+q=0

其中p=-(a1^2/3)+a2

q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3

1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2

2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3），x2=A^(1/3)*ω，x3= A^(1/3)*ω^2

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)，两边同时除以a，可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3，代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①

如果u和v满足uv=-p/3，u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方y^2+qy-p^3/27=0的两个根。

解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)

不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)，B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)

则u^3=A，v^3=B

u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2

v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2

但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

u1= A（1/3），v1= B（1/3）

u2=A^(1/3)*ω，v2=B^(1/3)*ω^2

u3=A^(1/3)*ω^2，v3=B^(1/3)*ω

那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）

x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2

x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω

这正是著名的卡尔丹公式。

△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。

当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；

当△<0>

根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，

则x1+x2+x3=-b/a，x1x2+x2x3+x1x3=c/a，x1x2x3=-d/a。

历史上，最早尝试一元三次方程的根式解的，是一批意大利数学家.

意大利数学家Scipione del Ferro（1465年——1526年）首先得出不含二次项的一元三次方程求根公式。

之后，另一位意大利数学家Niccolò Fontana "Tartaglia"（1499年或1500年——1557年）独立得出一元三次方程求根公式。

意大利数学家Girolamo Cardano（1501年——1576年）拜访了Tartaglia，并获得了包含一元三次方程求根公式的暗语般的藏头诗。

很快，Cardano从藏头诗中悟出了求解一元三次方程的方法，所以现在这个方法经常被称为“Cardano法”。

再往后，Cardano的学生Lodovico Ferrari（1522年——1565年）在一元三次方程的求根公式的基础之上，给出了一元四次方程的求根公式。