函数z=f(x， y) 的两个偏导数f'x(x， y)， f'y(x， y)分别与自变量的增量△x， △y乘积之和

f'x(x， y)△x + f'y(x， y)△y

若该表达式与函数的全增量△z之差，

当ρ→0时，是ρ( )的高阶无穷小，

那么该表达式称为函数z=f(x， y) 在(x， y)处(关于△x， △y)的全微分。

记作：dz=f'x(x， y)△x + f'y(x， y)△y

定理1

如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2

若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

扩展

常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

补充

如果函数z=f(x， y) 在(x， y)处的全增量

Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)

可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx， Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于O(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x， y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x， y)在点(x， y)处的全微分，记为dz即

dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x， y) 在(x， y)处(关于Δx， Δy)的全微分。

若f (x，y)在点(x0， y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；

若f (x，y)在点(x0， y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；