最近，看到天津一位老师发了一个绝对值和二次函数结合的填空题目，如下：

这个题目的考点正好是近两年天津高考中比较常见的，不过这位老师并没给出这题的解法及一些背景，下面摘录的材料中从两个方面来聊聊这道题目背景、多种解法及类似题目。

这道题目其实来源于2017年全国高中数学联赛第9题，其多种解法及题目背景如下：

上面提到的切比雪夫多项式背景在2016年天津高考数学试卷压轴题中出现过，关于更多的切比雪夫多项式内容，可以参见笔者之前文章《谈谈2023届雅礼十六校第一次联考第17题的背景以及相关题目》。

和上述题目类似的还有2010年全国高中数学联赛第9题(题目中绝对值里面应该是f'(x))：

上述两个题目有变式题目，如下：

上述是从切比雪夫多项式角度看这类题目，其实还可以从二次函数极差角度看这类题目：

二次函数虽然是初中学的，不过一直是高中比较热门的考点，在高中学习和复习的过程中需要多注意这方面！