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“全军覆没，无一例外！”不少家长向老师抱怨“此题严重超纲”，非使用三角形全等和勾股定理不可！这是一道某小学五年级数学竞赛题：四边形面积、两角及一边长已知，咋求其余三边边长？

如图一​，

图一

四边形ABCD的面积为16，AD=CD，∠ABC=∠ADC=90°，BC=7，求AB与AD的长。

★非使用三角形全等、勾股定理不可？

家长和孩子往往习以为常，既然是竞赛题，超纲是常态，不超纲才不正常！这样还有利于间接“督促”或“迫使”孩子多学习、掌握新知识……

也有不少家长认为，超纲无益，学习循序渐进才好！所谓超纲不过是“强迫”孩子提前学习罢了，拔苗助长而已，百害而无一利……

那么此题果真超纲了？或者说，真到了非使用初中知识“三角形全等和勾股定理”不可的地步吗？

非也！

★适合五年级的不超纲解析之一

①连接BD，将三角形ABD绕点D逆时针旋转90°至AD与CD重合，旋转后的三角形记为△B'CD。如图二

图二

②显然，∠B'CD=∠BAD，B'C=AB，BD=B'D，∠BDB'=90°。

③B'在BC延长线上，因为∠B'CD+∠BCD=∠BAD+∠BCD=180°。

④△BDB'为等腰直角三角形，其面积等于四边形ABCD的面积、为16。

⑤S△BDB'=16=BB'×BB'÷4，故BB'=8。

⑥AB=B'C=BB'-BC=8-7=1。

⑦连接AC，则S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=16-7×1÷2=12.5。

⑧S△ADC=AD×CD÷2=12.5，故AD=5。

★适合五年级的不超纲解析之二

①过点D作BC的垂线DE，将三角形CDE绕点D顺时针旋转90°至CD与AD重合，旋转后的三角形记为△ADE'。如图三

图三

②显然，∠DAE'=∠DCE，CE=AE'，DE=DE'，∠EDE'=90°。

③E'在BA延长线上，因为∠DAE'+∠BAD=∠BCD+∠BAD=180°。

④BE'DE为一长方形，再由DE=DE'即邻边相等即知BE'DE为一正方形，其面积为16，故其边长DE=BE=BE'=4。

⑤CE=BC-BE=7-4=3，故AB=BE'-AE'=BE'-CE=4-3=1。

⑥同于“不超纲解析之一”，可求得AD=5！

注：“解析之二”也可使用勾股定理或简单勾股数，求得AD=5！但并非“非用不可”！

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