最近，看到2024年十月份“天津”高一年级十月联考试卷(试卷见后，这里加引号的意思是感觉出题风格不像是天津的题目)，其中压轴题如下：

这道题目属于新定义题目，考查了柯西不等式的应用。其中第二题是仿照2017年全国高中数学联赛福建省预赛的第九题：

这道题目有不同的解法如下：

根据上述解法，可以总结这道题的“窍门”：只要让根号下都是完全平方数，然后再开方即是配凑的系数，可以用这个办法解答开头题目的第二问：

对第一问，就按条件给出的解答即可：

对于第三问，使用了柯西不等式的变式：

在此基础上，第三问解答如下：

关于这个变式的其它应用可以见笔者之前文章《从一道高一月考试题简单聊聊拉格朗日恒等式与柯西不等式及其拓展》。最后附上整套试卷：