这是一道网上“广为流传”的五年级数学题，家长朋友们做得“津津有味”、“不亦乐乎”，但没人发现这题错了！为何？题虽错了，却不影响求解出“答案”！

原题：如图一，

图一

点E、F分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接DE和CF，DE垂直CF相交于点O，OE=4，OC=6，求阴影图形面积之和。

友友们，您知道、这题错在哪吗？如何修正？

示意图一根本就不存在！

一、错误不易发现的原因

题错了，却不影响求解！可求得S阴影=S△COE=4×6÷2=12。详细过程参考下文“原题修正后的解析”部分！

二、错在哪？为指出此题错误之处，需用到内弦图及初中知识三角形相似或射影定理

①内弦图：过点A、B分别作CF和DE的平行线AM和BN，AM与DE相交于点P，如图二

图二

②由图二弦图即得AP=BM=CN=DO，AM=BN=CO=DP。从而CF=DE。也可利用初中知识三角形全等推导出CF=DE！

③记OD=x，则由CF=DE及OE=4、OC=6可知OF=x-2，再由射影定理或三角形相似可得，x²=6(x-2)即x²-6x+12=0。显然该方程无实根，因为Δ=6²-48=-12＜0。因此图一中线段OD不存在！

三、如何修正？

仍记OD为x，记OE=a，OC=b，且不妨设b≥a。由CF=DE可得OF=x-b+a，再由射影定理或三角形相似可得，x²=b(x-b+a)即x²-bx+b(b-a)=0。为使得OD存在，只要Δ=b²-4b(b-a)≥0即可。

特别地，当a=b时，可求得OD=b。此时，O必为CF和DE的中点，也即CF与DE相互垂直平分。

当b＞a时，比如b=4，a=3时，Δ=4²-4×4×(4-3)=4＞0。从而这样的OD存在且OD=3。

四、修正示例、及其解析

依据第三部分，可将原题修正为：如图三，

图一

点E、F分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接DE和CF，DE垂直CF相交于点O，OE=3，OC=4，求阴影图形面积之和。

解析：

①由第二部分中内弦图可知，S△ADE=S△CDF，从而有S四边形AEOF=S△OCD。

②S△ADE+S△BCE=1/2S正方形ABCD=S△CDE。故S阴影=S△CDE=4×3÷2=6。

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