最近有个小朋友向我提出一个问题：如果有个人拥有一根弹性极佳的绳子，原长为100米，且每秒钟会伸长100米。此时有一只蚂蚁在绳子的一端，以每秒钟0.01米的速度爬行，那么这只蚂蚁坚持不懈地爬，能否爬到绳子的另一端呢？乍一听似乎不太可能。毕竟绳子伸长速度是每秒钟100 米，而蚂蚁速度仅为每秒钟0.01米，蚂蚁怎么可能追得上绳子呢？但实际上答案是肯定的，这是怎么回事呢？下面我们一起来研究这个问题。

一、蚂蚁爬绳之数学求解与缺陷

假设这根绳子一端系在树上，原长L0为100米，并且以每秒钟100米的速度均匀伸长。需注意，这是一根弹性绳，伸长时每个部分都均匀伸长，并非只有末端移动。此时有一只蚂蚁在绳子左端，正以0.01 米 / 秒的速度向右爬行。我们来看看这只蚂蚁能否爬到绳子的另一端。

我们可以采用一种数学方法来求解。这个方法是求什么呢？我们想求出在T秒时，蚂蚁爬过的绳子比例。在第一秒钟，蚂蚁爬了0.01米，此时绳子长100米，所以它爬过的比例是0.01÷100。第二秒，蚂蚁又爬了0.01米，绳子长200米，蚂蚁爬过的比例是0.01÷200。第三秒，蚂蚁再爬0.01 米，绳子长300米，以此类推，到第T秒时，蚂蚁爬过的比例是0.01÷(100×T)。这个式子可以化简为 1/10000×(1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/T)。这叫调和级数，当T趋近于无穷时，1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/T 约等于lnT（忽略微小差异）。

根据这个结果，我们可以算出当比例达到1时，蚂蚁就爬到绳子的另一端。此时T 等于e的10000次方。如果计算出来，这个时间非常长，约为8.8×10 的4342次方秒，或者2.8×10的4335次方年。要知道宇宙从形成之初到现在也只有138亿年。所以蚂蚁爬到绳子另一端只是理论上可能，实际上它活不到那一天。

不过这种方法存在缺陷。因为第一秒钟绳子并非一直是100米，而是从100米变为200米，但我们计算时认为一秒钟内绳子一直是100米。第二秒钟绳子也不是200米，而是从200米变到300米，以此类推。而且在使用调和级数时也有近似处理。所以这两步近似可能导致结果不准确。

二、蚂蚁爬绳之物理方法

那能不能更准确地表述这个结果呢？还有一种物理方法。我们可以求出在T秒时蚂蚁爬过的角度。把绳子画成一个圈，100米长的时候是一个圈，200米长的时候是一个更大的圈，随着绳子不断膨胀，我们认为这个圈也在不断变大。如果蚂蚁在某一点不动，它在绳子上的角度不会改变。比如蚂蚁最开始在A位置，绳子膨胀后它的位置会变化，但角度不变。蚂蚁往前爬就意味着它的角度在不断变化。如果把绳子看成一个圆圈，那么蚂蚁在绳子上就是在做圆周运动。所以我们想算一下在T秒时蚂蚁爬过的角度。当这个角度达到一圈，也就是2π时，蚂蚁就爬到了绳子的另一端。

具体计算如下：首先计算圆圈的周长，即绳子的长度L= L0+U×T，其 L0是100米，U是100米/ 秒，T是一段时间。那么半径R=L÷(2π)=(L0+U×T)÷(2π)。蚂蚁的角速度等于线速度除以半径，即ω= 2πv÷(L+UT)，其中V是蚂蚁的线速度。蚂蚁爬的角度等于角速度乘以一小段时间dt，对角度从0到T积分，当结果等于2π时，蚂蚁就到达绳子的另一端。化简后可得积分从零到T的 [1+(1/T)]×dt =10000，最后算出来T=e的10000次方减1。可见与不精确的结果相比，精确结果只是减了1，差别不大。

三、理论延伸与新问题思考

这个理论有什么用处呢？我们可以想象，如果宇宙是均匀膨胀的，那么不管膨胀速度多快，从宇宙的一点发出一道光，一定可以到达宇宙的其他任何一个点，哪怕宇宙膨胀速度超过光速也能做到。但事实上，宇宙膨胀并非均匀的，离我们越远的地方膨胀速度越快，这是哈勃定律告诉我们的。所以我想问大家一个问题：假如这根绳子不是均匀伸长的，而是离起点越远的地方伸长速度越快，离起点越近的地方伸长速度越慢，就像宇宙膨胀一样，那么这只蚂蚁还能爬到绳子的另一端吗？思考出答案的小朋友，不妨把答案写在评论区里。

文本来源 @李永乐老师的视频内容