概率论 probability theory

研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是指不能预先确定观察结果的客观现象。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性大小的度量。

虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。

例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率（出现次数与投掷次数之比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于1/2。

又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因此其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。

大数律和中心极限定理就是描述及论证这些规律性的。

在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。

例如，某一电话交换台从一确定时刻起，其后的每一时间间隔内所收到的呼唤次数便是一随机过程。

又如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。

研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代率论的主要课题。

总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。

1.发展史

概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。

16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中一些简单问题。

17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、P.de费马及荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博问题，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。

使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律。这一结果被英国数学家A.棣莫弗和法国数学家P.-S.拉普拉斯加以精细化，后世称之为棣莫弗-拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。

拉普拉斯的著作《概率的分析理论》（1812年）中首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率），并引入更有力的分析工具，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将其推向一个新的发展阶段。他非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤其感兴趣。

其后对概率论作出重要贡献的还有俄国数学家P.L.切比雪夫、A.A.马尔可夫、A.M.李雅普诺夫、A.Ya.辛钦、A.N.科尔莫戈罗夫、法国数学家P.莱维、美国数学家N.维纳、W.费勒、J.L.杜布和日本数学家伊藤清等人。

在概率论发展史中特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫在1933年建立了概率论的公理化体系。

虽然到19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。

1900年，D.希尔伯特在世界数学家大会上公开提出了建立概率论公理化体系的问题。20世纪初完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。

人们通过对概率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究，发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度有相同的性质。到了20世纪30年代，随着对大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。例如，强、弱大数律中的收敛性与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完全类似。

在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。

这一公理体系一经提出，便迅速获得举世公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。

概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化其应用范围。

由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅速的发展。其主要研究内容大致可分为概率极限理论（包括极限定理、大偏差、无穷粒子系统和渗流理论）、随机过程（包括马尔可夫过程、平稳过程、超过程或测度值过程）、特殊过程（包括鞅、随机点过程和排队过程）、随机分析（包括随机积分、随机微分方程、随机偏微分方程、马里亚万分析和白噪声分析）等。此外，包括组合概率、几何概率等在内的一些古典概率问题和方法，在20世纪70年代以来有了新的发展，产生了随机图和随机几何等新的分支学科。

2.应用

概率论在科学技术各领域有广泛的应用。

例如，在物理学方面研究高能电子或核子穿过吸收体时产生级联（或倍增）现象的起伏，研究放射性衰变和原子核反应堆中的问题等，要用到泊松过程和更新理论。

湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场理论。

探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。

在化学反应动力学的研究中要用生灭过程来描述。

随机过程理论还可提供描述生物现象和遗传问题的数学模型。如研究群体增长问题时提出的生灭型随机模型、两性增长模型、群体间竞争与生尅模型、群体迁移模型、增长过程的扩散模型等。

有些生物现象还可以利用时间序列模型来预报。

传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。

许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程。

在通信、雷达探测、地震探测等领域中的信号处理，要用编码和随机滤波方法来消除噪声的干扰。

在空间科学和工业生产的自动化技术中需要研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。

在计量经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，在金融学中研究交易和投资问题，也大量采用概率论方法。

摘自：《中国大百科全书（第2版）》第7册，中国大百科全书出版社，2009年