正确率不及5%！填空题的缘故，很多不会做的同学就侥幸“蒙”一下，很可惜答案是无理数，结果可想而知，一个蒙对的也没有！这是一道初中数学竞赛填空题：如图一，

图一

在三角形ABC中，∠ACB=2∠ABC，AC=7，BC=8，求AB长。

主要考查：①角平分线定理②三角形相似、全等③勾股定理等！

一、不超纲解析之一：角平分线定理+三角形相似！适合初中生

①作∠ACB的角平分线CD与AB相交于点D，如图二

图二

②显然，∠ACD=∠BCD=∠ABC=α，∠ACB=∠ADC=2α，故CD=BD。

③令AB=a，由角平分线定理AC/AD=BC/BD，故CD=BD=8a/15。

④显然△ABC与△ACD相似，故AC/AB=CD/BC，也即8a²/15=56。因此，a=√105。

二、不超纲解析之二：三角形全等+勾股定理！适合初中生

①将图二中角平分线CD延长至点E，使得AC=AE=7，连接BE，过点A作BC的垂线AF，如图三

图三

注1：若∠ACB为钝角，则过点C作AE的垂线即可！

②显然，

∠ACD=∠BCD=∠ABC=∠AEC=∠EAD=α，∠ACB=∠ADC=2α。故AE⫽BC，AEBC为一梯形。

③△ACD≌△EBD，故AC=EB=7，从而AEBC为一等腰梯形。

④由③即知CF=1/2，BF=7.5。

⑤由勾股定理可得AB²=AF²+BF²=AC²-CF²+BF²=7²-0.5²+7.5²=105，也即AB=√105。

注2：即便AC和BC未知，由BF=AE+CF=AC+CF=BC-CF，从不超纲解析之二步骤⑤出发，利用平方差公式，可推导出如下公式，

AB²=AC²-CF²+BF²=AC²+(BF-CF)(BF+CF)=AC²+AC×BC。

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