在本章中，我们将信用风险的研究扩展到包含多个信用风险证券的投资组合。我们首先介绍在这种情况下我们需要的最重要的附加概念，违约相关性，然后讨论衡量投资组合信用风险的方法。

信用风险证券的投资组合可能包含债券、商业票据、资产负债表外敞口(如担保)以及信用衍生品头寸(如信用违约互换)。典型的投资组合可能包含许多不同的债务人，但也可能包含对同一债务人资本结构的不同部分的敞口，例如优先股和优先债务。所有这些区别对于准确测量投资组合信用风险都是非常重要的，即使我们在这里提出的模型是从其中许多模型中抽象出来的。

在本章中，我们将重点讨论一种衡量投资组合信用风险的方法。它采用了一个单因子模型，该模型的关键特征是具有正态分布收益的潜在因子。违约值是独立的，取决于这组因子所取的值。通常我们使用一个单一的未来时间范围的分析。我们将进一步细化模型，使其只包括违约事件，而不包括信用迁移，并且只包括单个因子。在CreditMetrics方法中，该模型用于计算信用迁移和违约的分布。因此，可以将本章中描述的方法标记为“违约模型的CreditMetrics”。该模型的一个优点是，因子可以与现实世界的现象相关，比如股票价格，为模型提供了一个经验锚。该模型也易于处理。

1.违约相关性

在对单个信用风险头寸进行建模时，我们可以考虑的风险和回报因子是

•违约概率;

•违约损失(LGD)，违约情况下的损失程度;

•评级迁移的可能性和严重程度(非违约信用恶化);

•价差风险，给定评级的市场价差变化的风险;

•对于不良债务，重组公司债务的可能性，要么通过公司及其负债的所有者之间的谈判，要么通过破产程序。

由于谈判解决或司法裁决，重组可能使特定类别债务的所有者蒙受损失。为了理解信贷组合风险，我们引入了违约相关性的附加概念，它驱动了由几个债务人发行的债务组合中出现多个违约的可能性。为了关注违约相关性问题，我们将假设违约概率和回收率，而忽略刚才列出的其他回报来源。

1.1 定义违约相关性

理解违约相关性最简单的框架是两家公司(或国家，如果我们持有主权债务头寸)，违约(或重组)概率分别为π1和π2，在一段时间内τ联合违约概率（即双方违约的概率），等于π12。

这可以看作是两个伯努利分布随机变量xi的乘积的分布，有四种可能的结果。就像在单一公司的情况下一样，我们必须小心地将伯努利试验定义为特定时间间隔τ上的违约或偿付能力。在投资组合信用模型中，该时间间隔对本章中的所有信用都是相同的。

除了单名违约概率外，我们还有一个新的参数π12。这是一个真正的新参数，一个原始参数:不是从π1和π2计算出来的，除非我们通过假定违约是独立的。由于值1对应于违约的发生，两个伯努利变量的乘积对于三个结果(最多一家公司违约的事件中包含的结果)等于0，对于联合违约事件为1:

这些都是适当的结果;它们是不同的，它们的概率加π1和π2起来是1。至少有一家公司违约的概率可以用1减去第一种结果的概率，或者用后三种结果的概率之和来表示。

我们可以计算伯努利变量的矩，两个伯努利分布违约过程的均值为

表示乘积的联合违约概率为E[x1x2] = π12，方差是

协方差是

则违约相关性最终是

我们可以将违约相关性(而不是联合违约概率)作为基元参数，用它来求联合违约概率:

两个违约事件独立时的联合违约概率为π12=π1π2，违约相关性为ρ12 = 0。若ρ12≠0，则联合违约概率与违约相关性之间存在线性关系:在独立π1π2下，π12对联合违约概率的“超额”越大，相关性越高。一旦我们指定或估计了πi，我们就可以直接或通过指定违约相关性来确定联合违约概率。大多数模型，包括本章中列出的模型，指定了一个违约相关性，而不是一个联合违约概率。

在包含两个以上信用的投资组合中，我们有一个以上的联合违约概率和违约相关性。而且，与两信用组合相比，我们不能仅仅基于违约概率和两两相关或联合违约概率来指定违约的完整分布。

要指定三信用组合中所有可能的结果，我们需要三个单违约概率、三个双违约概率、无违约概率和三个同时违约概率，总共有八个。但我们只有7个条件：3个单一违约概率，3个两两相关，以及所有概率加起来等于1的约束。当只有两种信用时，后一种约束决定了概率。对于n > 2的情况，我们有2n个不同的事件，但只有n + 1 + n(n-1)/2的情况:

因此，我们不能仅仅根据违约相关性建立一个完整的信贷组合模型。但这样做是一种务实的选择，而不是估计或规定，比如，完全指定10个投资组合的分配所需的1024个概率。即使所有必要的参数都能被识别出来，这个数字也会相当大，因为我们必须定义潜在的大量成对相关性。如果投资组合中有N个信贷，我们需要定义N个违约概率和N个回收率。此外，我们需要N(N - 1)个两两相关。在信用风险建模中，我们经常将所有的两两相关设置为单个参数。但是，这个参数必须是非负的，以避免相关性矩阵不是正定的，结果没有意义：不是所有公司的违约事件都可以相互负相关。

1.2 违约相关性的数量级

对于大多数发行债券的公司来说，大多数时候，违约是相对罕见的事件。这有两个重要的含义:

①使用历史违约数据很难度量或估计违约相关性。大多数研究得出了0.05量级的一年相关性。然而，估计的相关性在不同的时间段、行业群体和住所之间差异很大，而且往往是负的。

②违约相关性的大小很小。在其他情况下，例如，考虑回归结果是否表明特定的解释值是重要的，我们习惯于认为，比如说，0.05是一个“小”或不显著的相关性，0.5是一个大或显著的相关性。违约相关性的情况则不同，因为除了少数CCC及以下级别的公司外，所有公司的违约概率都很小，大约在1%左右。因此，任何特定信用对违约的概率也很小，因此“表面上”小的相关性可能会产生很大的影响，如我们在示例11.1中看到的那样。

2.投资组合信用风险度量

为了衡量信贷组合风险，我们需要对违约、违约相关性和违约损失进行建模。在更精细的模型中，我们还可以包括评级迁移。这里我们将自己限制为违约模式。但在实践中，以及在穆迪的KMV和CreditMetrics等商业模型中，模型是以迁移模式运行的;也就是说，信用迁移和违约都可能发生。

2.1 颗粒度和投资组合信用风险价值

投资组合信用VaR的定义类似于单个信用的VaR。它是信贷损失的分位数（或置信水平），减去投资组合的预期损失。违约相关性对投资组合风险有着巨大的影响。但它影响的是波动性和损失的极端分位数，而不是预期损失。如果信用组合中的违约相关性等于1，那么该投资组合的行为就好像它只由一个信用组成。没有实现信贷多样化。如果违约相关性等于0，则投资组合中的违约数量是一个二项分布随机变量。可以实现显著的信贷多样化。

为了了解这是如何运作的，让我们看看多元化和非多元化投资组合，在违约相关性的两个极端，0和1。想象一个有n个信贷的投资组合，每个信贷的违约概率为π%，回收率为0%。设投资组合的总价值为10亿美元。我们将n设置为不同的值，从而将投资组合划分为较大或较小的单个头寸。如果n = 50，则每个头寸的价值为2000万美元。接下来，假设每个信贷在资本结构中处于相同的位置，并且回收率为零;在违约的情况下，该头寸将被清除。 我们假设每个头寸都是不同债务人的义务;如果两个头寸是同一债务人的债务，它们将相当于一个大头寸。我们可以忽略货币的时间价值，这在这个例子中不起作用，或者把所有这些量都看作未来价值。现在我们将违约相关性设置为0或1。

如果违约相关性等于1，那么要么整个投资组合违约，概率为π，要么一个投资组合都不违约。换句话说，在默认相关性为1的情况下，不管n的值是多少，投资组合的行为就好像n = 1一样。因此，我们可以通过假设所有的投资组合都投资于一个信贷来继续分析。预计损失为π×1000,000,000。但只有一个信贷，只有全有或全无的结果。信用损失等于0，概率是1 -π。违约的相关性并不重要。

考虑违约情况下的极端损失等于10亿美元，因为我们假设回收率为零。如果π大于信用VaR的置信水平，则VaR等于整个10亿美元减去预期损失。如果π小于置信水平，则VaR小于零，因为我们总是从极端损失中减去预期损失。例如，如果违约概率为π= 0.02，则95%置信水平下的信用VaR为负(即收益)，因为投资组合中的信用损失有98%的概率为0。0减去预期损失π×1000,000,000 = 200,000,000, VaR为- 200,000,000美元。在具有二元风险的单个信用的情况下，信用VaR是定义良好的，可以计算，但不是非常有用。如果违约相关性等于0，则违约数量以是参数n和π二元变量。然后我们有许多介于全有或全无极端之间的中间结果。

假设投资组合中有50个信用资产，那么每个头寸的未来价值，如果不违约，是2000万美元。预期损失与单笔相同:π×1000,000,000。但现在极端的结果不那么极端了。假设π = 0.02。违约的数量是以参数n=50和π=0.02二项分布（如图11.1所示）。95%置信水平下违约数量的为3，两次及以下违约的概率是0.92，三次及以下违约的概率是0.98。三次违约，信用损失为6000万美元，减去2000万美元的预期损失，这与单一信贷投资组合的情况相同，我们得到4000万美元的信贷风险值（Credit VaR）。

当我们继续增加仓位的数量并减少仓位的规模，保持投资组合的总价值不变时，我们减少了投资组合价值的方差。当n = 1000时，95%置信水平下的违约数量为28，95%置信水平信用损失为2800万美元，因此信用VaR为800万美元。在表11.1和图11.2中，我们总结了n = 1,50, 1000，违约概率π = 0.005, 0.02, 0.05以及置信水平为95%和99%时的结果。

当投资组合变得更细粒度时，也就是说，包含更多独立的信用，每个信用都是投资组合的一小部分，会发生什么?考虑到投资组合的规模，信用风险值自然越高，违约概率越高。 但对于给定的违约概率，随着信贷组合变得更加精细，它就会减少。在违约概率较高的情况下，收敛性更为剧烈。但这有一个重要的反面:如果违约概率很低，通过使投资组合更细粒度来降低VaR就更难了。

最终，对于包含大量独立小头寸的信用投资组合，信用损失等于预期损失的概率收敛到100%。当单一信贷组合在概率为1 - π的情况下没有损失，并且总损失的概率为π时，颗粒投资组合“几乎肯定”会损失100π%。此时，投资组合的信用损失波动率为零，信用风险值为零。

在本章的其余部分，我们将展示投资组合信用风险模型如何考虑违约相关性，并特别关注一个模型:单因子模型，因为它是一个结构模型，强调不同公司违约的基本驱动因子之间的相关性。该模型中的违约相关性取决于企业与整体经济的联系有多紧密。

3.单因子模型计算违约分布和信用VaR

在上一节的示例中，我们仅将默认相关性设置为0和1的极值，并且没有考虑特殊信用风险。在本章的其余部分中，我们允许违约相关性在(0,1)上取任何值。单因子模型使我们能够通过信贷的β到市场因子来改变违约相关性，并让特殊风险发挥作用。

3.1 条件违约分布

为了使用单因子模型来衡量投资组合信用风险，我们首先想象一些公司i = 1,2，…，各有各自对市场因子的相关性βi，自身的特质风险标准差和自身的特殊风险√1-βi2以及特殊的冲击影响∈i，公司i的资产收益率是

我们假设m和∈i是标准正态变量，彼此之间不相关。我们现在再假设∈i彼此不相关的:

在这些假设下，每个ai是标准正态变量。由于假设市场因子和特殊冲击都具有单位方差，因此每个信用i对市场因子为βi；任意一对企业i和j的资产收益之间的相关性为βiβj,

如果ai≤ki，得到违约资产值的对数距离，以标准差表示。

单因子模型有一个特点，使其成为评估投资组合信用风险的一种特别方便的方法：条件独立性，即一旦市场因子的特定价值实现，资产回报、违约风险——是相互独立的。条件独立性是模型假设的结果，即公司的回报仅通过它们与市场因子的关系而相关。

为了看到这一点，让m取一个特定的值m---。违约的距离——资产回报——增加或减少，现在只有一个随机的驱动因子∈i,则冲击为

当市场因子取特定值时,对于任意βi>0，违约分布的均值发生偏移。违约分布的方差从1减少到√1-βi2，即使违约阈值ki没有改变。由条件作用引起的分布变化如图11.3所示。

总而言之，指定实现m =m---做了三件事:

(1)条件违约概率大于或小于无条件违约概率，除非m---= 0或βi= 0，即要么市场因子冲击恰好为零，要么公司收益与经济状况无关。也不再有无数的市场冲击和特殊冲击的组合会引发公司i违约。给定m---，实现∈i小于或等于

会触发违约。这个表达式是线性的，向下倾斜的m---:当我们让m---从高(强经济)到低(弱经济)的值变化时，一个较小的(不那么消极的)特殊冲击就足以触发违约。

（2）违约分布的条件方差是1-βi2，条件方差是由无条件方差1缩减而来。

（3）它使不同公司的资产收益相互独立。∈i是独立的，所以条件收益为√(1-βi2)∈i和√(1-βj2)∈j，因此两个公司i和j的默认结果是独立的。

综上所述，无条件违约分布是标准正态分布，而条件分布可以表示为均值为-βim，标准差为√(1-βi2)的正态分布,条件累积违约概率函数现在可以表示为m的函数:

在图11.4中绘制了不同的相关性。这个函数是以特定方式标准化的随机变量的标准正态分布函数。考虑到市场因子的实现，均值或“标准差数”被设置为违约的新距离，而标准差本身被设置为条件独立性下的值√(1-βi2)。直觉告诉我们，对于给定的市场因子值，违约概率取决于欧元的实现在其均值0以下多少个标准差。累积违约函数对应的密度函数绘制在图11.4中。

在单因子模型中，任意一对信用i和j的累计收益分布为二元标准正态分布，相关系数为βiβj

其累积分布函数为Φ(ai，aj)。联合违约的概率等于实现值在{-∞≤ai≤ki,-∞≤aj≤kj};

为得到该模型的默认相关性，将πij=Φ(ki，kj)代入式(11.1)，即线性相关性表达式:

从这里开始，让我们假设所有公司的参数都是相同的;即βi，= β,ki= k, πi= π, i = 1,2，…任意两家公司的两两资产收益相关性为β2。在此模型中，任意两家公司共同违约的概率为

任意一对公司之间的违约相关性是

3.2 基于单因子模型的信用VaR

在本节中，我们将展示如何使用单因子模型来估计“颗粒”同质投资组合的信用VaR。设n表示投资组合中公司的数量，并假设n是一个较大的数字。我们假设n家公司的违约损失是1美元。每笔信贷只占投资组合的一小部分，特殊风险微乎其微。

条件违约概率和损失级别

回想一下，对于给定的市场因子实现，各种信贷的资产回报是独立的标准正态。反过来，这意味着我们可以将大数定律应用于投资组合。对于市场因子的每个水平，损失水平x(m)，即投资组合违约的比例，收敛于单个信用违约的条件概率，给定任何信用违约

直觉是，如果我们知道市场因子回报的实现，我们就知道损失的实现程度。这反过来意味着，给定模型的两个参数，违约概率和相关性，投资组合收益是由市场因子驱动的。

无条件违约概率和损失水平我们最终感兴趣的是信贷损失的无条件分布，而不是有条件分布。某一特定损失水平的无条件概率等于导致该损失水平的市场因子回报实现的概率。求无条件分布的过程如下:

①将损失级别视为具有实现X的随机变量X。我们不模拟X，而是对0(无损失)和1(总损失)之间的每个X值进行模型分析。

②对于每一个损失水平X，找出市场因子的实现，在这个市场因子下，对于单个信用，违约的概率等于规定的损失水平。亏损水平与市场要素收益之间的关系为

因此，我们可以解出m，即对应于给定损失水平x的市场因子收益:

③损失水平的概率等于这个市场因子回报的概率。但根据假设，市场因子是一个标准常态:

④对每一个损失级别重复此过程，得到x的概率分布。描述该过程的另一种方式是:设置一个损失级别/条件违约概率x，求解条件累积违约概率函数式(11.2)，得到:

则损失分布函数为

虽然模型很简单，但我们有几个参数需要处理:

•违约概率π设定了投资组合中违约的无条件期望值。

•与市场的相关性β2决定了违约在市场因子范围内的分布情况。当相关性很高时，对于任何违约概率，违约都会随着业务状况的恶化而迅速增加。当相关性较低时，只有在极其糟糕的经济情况下，违约概率才会升高。

为了理解相关参数的影响，我们从极端情况开始:

（1）β→“1(完全相关)。回想一下，我们构建了一个没有特殊风险的投资组合。如果与市场因子的相关性接近统一，则有两种可能的结果。m≤k，此时几乎所有信用违约，损失率等于1，或者m > k，此时几乎没有信用违约，损失率等于0。

（2）β→“0”(零相关)。如果与市场因子没有统计关系，所以特质风险为零，那么损失率将很可能非常接近违约概率ρ。

在不太极端的情况下，较高的相关性导致违约极少或极多的概率较高，而中间结果的概率较低。