这是一道初中数学竞赛题：比较无理数的大小！如图一，

图一

比较1+√5和√10的大小。

无理数比较大小，最为直接的方法就是有理化！

一、常规方法：有理化+“一路平方”！

需用到平方和公式或平方差公式

①(1+√5)²=6+2√5，(√10)²=10，故(1+√5)²-(√10)²=2√5-4。

②(2√5)²=20，4²=16，故(1+√5)²-(√10)²=2√5-4＞0。因此1+√5＞√10！

二、妙解：数形结合+勾股定理！

①构造一个直角边AB和BC分别为1和2的直角三角形ABC，由勾股定理即知斜边AC为√5，如图二

图二

②延长直角边BC至点D，使得CD=1，连接AD，由勾股定理即知AD=√10，即得一大的直角三角形ABD，如图三

图三

③考虑三角形ACD，由任意两边之和大于第三边即知AC+CD＞AD，故1+√5＞√10！

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