在数学里，任何向量空间V都有其对应的对偶向量空间（或简称为对偶空间），由V的线性泛函组成。此对偶空间具有一般向量空间的结构，比如向量加法及标量乘法。由此定义的对偶空间也可称之为代数对偶空间。
向量空间V的对偶空间的一个例子是V上所有线性函数的集合。
具体来说：
给定一个线性空间V，假设选取它的一个基b={α1,α2,…,αn}。该线性空间V的对偶空间V定义为其上的所有线性函数组成的空间，记为V: φ→F。其中φ是线性函数（或线性泛函），F是数域如实数域R或复数域C。可以理解为：线性函数（或线性泛函）将线性空间V的向量作为输入，然后输出一个标量。注意，φ的作用对象(自变量)是V中的向量。
举例来说：
如果V是R3，假设x,y,z是V中的向量，那么φ[(x,y,z)]=x−3y+2z是V*的一个元素。
如果V是n次多项式Pn，那么φ(p)=p(1)是V的一个元素，比如可取为
φ(1+2x²+3x³)=p(1)=1+21²+3*1³=6。
L(x,y,z)=3x+4y−5z也是一个线性泛函，它属于R3的对偶空间。
向量V的对偶空间的元素是数字（或更具体地说，是函数）。
对偶空间的元素本质上是函数，这些函数的输出是数字。
对偶空间中的每一个元素都可以看作是一个从原向量空间V到实数域R的映射，即一个线性函数。这个函数接受V中的一个向量作为输入，并输出一个实数作为结果。因此，虽然原向量空间V的元素是向量，但其对偶空间的元素则是这样的函数，或者说，是“向量的函数”或“向量的映射”，其最终表现形式为数字（实数的输出）。
对偶空间也是线性空间，是因为它满足线性空间的定义条件。对偶空间是由原线性空间的所有线性函数组成的空间，记为 V*。这些线性函数将原空间 V 中的向量映射到数域 F 中的数，并且满足加法和数乘的性质。
加法：对于任意两个函数 f,g∈V*，定义 (f+g)(v)=f(v)+g(v)，其中 v∈V。数乘：对于任意标量α∈F 和函数f∈V*，定义(αf)(v)=αf(v)，其中 v∈V。这些性质确保了对偶空间也构成一个线性空间。
