再把二维挂谷问题的解法说一下，很妙。类似汽车利用小空间掉头，针掉头扫过的空间面积可以是任意小
1. 中国女学者王虹发论文解决三维挂谷问题，成为菲尔兹奖热门，挂谷问题也成了热门。二维问题的原始形式是，一根宽度为0长度为1的针，怎么在空间中平移旋转，掉头，让覆盖扫过的面积最小化。苏联学者贝西科维奇1928年证明了，二维平面针掉头需要的面积可以任意小！这是反直觉的，也说明了数学的奇妙。
2. 任意小，不是0。这是说，你给出一个很小的数，他就给出一个有限步数的掉头方案，最后计算针扫过的面积，小于你给的数。旋转总要覆盖一点面积，所以不是0。但可以任意小，已经非常惊人了。
3. 这里有两个大招，实现任意小。一个是“重复利用空间”，就像汽车掉头，进进出出反复拉扯，把中间的面积充分利用。这个针掉头，会旋转很多次，每一次都会有个小角度，角度之和是180度。乍一看面积之和不会小，但是，针的每次旋转可以“共用”同一块地方操作，只用一点点不共用的空间。
4. 如图一，左边转出一个圆，就没有共用旋转空间。图一右边，三角形旋轮线，三次旋转，中间共用了面积，所以扫过面积只有圆的一半。这就是共用的威力。
5. 第二个革命性大招，是N字型蛇皮游走，针平移了一段距离，但是扫过面积可以很小！图二，针在N左腿移动，扫过面积为0，再扫过一个小角度，再顺斜腿下来，再扫过同样的小角度，再N的右腿走，还是面积0。绝妙的主意是，只要腿够长，角度就可以任意小。也就是说，真可以不花面积代价，平移到任何要去的位置！
6. 有人说，这个相信，但是针是要转动掉头的，这平移角度没动啊？大招没用啊？哈哈哈，这就是牛逼的地方。平移虽然没转动，但是它可以帮助“接下来的转动动作”，挪到合适位置，让转动多用“共用面积”！这样，转了一点角度，只增加一点“新面积”，主要利用空间还是之前已经跑过的。
7. 最后的跑动方案就是图三类似的。针用N字型蛇皮游走跑很远调整位置，然后转动一下，利用中间的一点面积。最后效果是，跑过的空间是一个“树形”，由于可以跑非常远，长长的树枝几乎没有占用面积，远远小于人给的数值。而中间的“公共区域”，是用来旋转的。只要旋转时分的步数多，这个公共区域也可以很小。如果旋转-平移调整的数量足够多，每次旋转都很小角度，中间公共区域面积也可以小于人给的数值。最后，整个怪树面积就小于开始给定的很小的数。
8. 这里关键是针直线移动占用面积为0，所以可以创造奇迹。数学里很多靠无限细分弄出的奇迹。
