​

有人说超纲了，非使用三角形全等求解不可！这是一道五年级数学竞赛题：求两正方形重叠区域的面积！如图一，

图一

正方形ABCD和OPMN的边长分别为6和4，O为大正方形ABCD的中心，DF=1.6，求重叠区域即四边形OEDF的面积。

也有人说条件DF=1.6多余，甚至还有人说PM=4和DF=1.6都多余，只需保留BC=6即可！您认为呢？

一、误区：考虑特殊情形！

比如，取F为CD中点情形，或F与D重合情形。此方法仅适用于PM与正方形ABCD不相交、或仅有一个交点的情形！

在“PM与正方形ABCD不相交”的前提下，考虑特殊情形，可非常简单、直观地求得重叠区域面积为大正方形ABCD面积的1/4。

其次，本题F为定点且DF=1.6，无法使用特殊情形方法来求解！

二、不超纲解析：图形旋转！

①过点O分别作CD与AD的垂线OH、OG，则OH=OG。如图二

图

②将△OHF逆时针旋转90°，则旋转后的△OFH与△OEG重合，故S△OFH=S△OEG。

③因此，S四边形OEDF=S正方形OGDH=9。

三、超纲解析：三角形全等！

只需说明△OFH与△OEG全等即可，余下同于不超纲解析！

四、条件PM=4是否多余？不仅不多余，还不够充分！

当PM≥3√2时，示意图一定成立，也即重叠区域面积等于大正方形ABCD面积的1/4。

当PM=4时，示意图未必成立，PM有可能与大正方形ABCD相交，从而重叠区域面积可能小于大正方形ABCD面积的1/4。

五、条件DF=1.6是否多余？并不多余，其与条件PM=4一起可确保PM不与正方形ABCD相交！

①连接OD，并延长OD与PM相交于点L，如图三

图三

②要使PM与正方形ABCD不相交或仅有一个交点，必须要求OL≥OD=3√2。

不妨假定DF长未知，即点F位置未定！

③当OL=OD时，PM的实际位置为P'M'，如图四

图四

④注意到OP'=4，OD=3√2，由勾股定理求得DP'=√2，故∠DOF=arcsin1/3。

⑤注意到

∠DFP'=∠ODF+∠DOF=π/4+arcsin1/3，由两角和的正弦公式可得sin∠DFP'=sin(π/4+arcsin1/3)

=sinπ/4×cosarcsin1/3+cosπ/4×sin arcsin1/3

=√2/2×(2√2/3+1/3)=(4+√2)/6。

⑥DF=DP'/sin∠DFP'=6√2/(4+√2)=6/(2√2+1)。

⑦因此要使得PM与正方形ABCD不相交或仅有一个交点，就要求DF≥6/(2√2+1)且F位于线段DH上。也即6/(2√2+1)≤DF≤3！

注意到6/(2√2+1)＜1.6＜3，由⑦即知，当PM=4，BC=6且DF=1.6时，PM与正方形ABCD不相交，从而示意图成立！

————————————————————

友友们有啥想法或思路，欢迎留言分享！