一篇简短的数学论文

两周前，预印网站arXiv上出现了一篇题为《论希尔伯特空间中的不变子空间问题》的数学论文。

这篇论文非常有意思，它只有13页，这对于数学论文是非常短的篇幅。此外，在参考列表中，它只引用了一篇文献，即一篇由瑞典数学家Per Enflo于1987年发表的论文，《论巴拿赫空间的不变子空间问题》。而Per Enflo，正是这篇新论文的唯一作者。

论文的摘要只有一句简短的话：“本文证明了每一个有界的线性算子T在希尔伯特空间H上，都有一个闭合的非平凡不变子空间。”

谁是Per Enflo？

听起来，这似乎是篇非主流的数学论文。你甚至可能开始好奇论文作者的数学专业性。然而，作者Enflo并非一个渴望一鸣惊人的新秀，他在研究不变子空间问题方面已经有相当长的历史。

Enflo出生于1944年，是俄亥俄州肯特州立大学的一名荣誉退休教授，有着很好的学术声誉。在数学领域，他除了研究不变子空间问题，还曾经解决过另外两个重要的问题——基问题和逼近问题。

一个有趣的事件是，Enflo通过解决逼近问题，破解了一个被称为做马祖尔鹅问题的等效难题。

1972年，Enflo从波兰数学家马祖尔那里收获了一个特殊的奖励——一只活鹅，以表彰他解决一个名为马祖尔鹅问题的等效难题。（图/Wikipedia）

这个问题是由波兰数学家马祖尔（Stanisław Mazur）提出的。1936年，马祖尔称，任何能解决这个问题的人，将获得他赠送的一只活鹅作为奖励。1972年，马祖尔兑现了他的承诺，将一只鹅送给了Enflo。

Enflo有着非常丰富的职业生涯，他除了在数学领域做出了诸多贡献，同时还是位著名的音乐家。他演奏和录制了许多钢琴协奏曲，并在世界各地独奏和与管弦乐队合作。

Per Enflo同时也是一名优秀的音乐家。（图/perenflo.com）

不变子空间问题

在认识了这篇论文的作者之后，现在让我们回到主题：什么是不变子空间问题？

不变子空间问题于上世纪中被提出，是泛函分析领域最著名的开放性问题之一。（泛函分析研究的是微分方程的全局，例如它会将一个微分算子看作一组函数的线性映射。因此，我们可以说这个领域是对无限维数的向量空间的研究。）这个问题涉及到几个基本的数学概念——向量、矩阵、本征向量、本征值。对于向量的定义，想必我们都不会陌生，它可以被想象成是在一个特定的向量空间中，同时拥有长度和方向的箭头。

在线性代数中，对于一个给定的矩阵A，它的本征向量v经过线性变换后，得到的新向量仍与原来的平行，但长度和（或）方向可能会改变。用一个等式来表示就是：Av=λv。这里的λ即本征值。当本征值为正数时，表示向量v在经过线性变换后，方向没有发生改变；如果λ为负数，则表示v的方向发生了反转；如果λ为0，则表示回到0点。但无论哪种情况，新向量都仍与本征向量v在同一条直线上。

换句话说，矩阵A将本征向量v，以及与它们平行的任何直线，变换回它们自己。这些直线对于这个矩阵是不变的，因此这些直线可以被称是这个矩阵的不变子空间。

不变子空间问题涉及的是具有无限维数的向量空间，它讨论的是，在这样的空间中，每一个线性算子（相当于矩阵）是否都必须具有一个不变子空间。

1987年的第一次突破

不变子空间问题的第一个重大突破，是由Enflo在20世纪70年代取得的。不过直到1987年，他的成果才得以发表。这一突破正是我们在文章开头提到的被新论文引用的唯一研究。

在那项研究中，Enflo在一个没有非平凡不变子空间的巴拿赫空间上构造了一个算子，最终得出了否定的答案。在泛函分析之中，希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊情况，在物理学、经济学和应用数学中有着广泛的应用。

虽然Enflo在一般的巴拿赫空间上为不变子空间问题提供了解答，但是解决希尔伯特空间上的线性算子的不变子空间问题却一直没能成功。这正是Enflo在新论文中声称已经实现的。

这次，Enflo给出了肯定的答案。他在新论文中表示，希尔伯特空间上的每一个有界线性算子都有一个不变子空间。

等待评审

论文在被上传之后受到了许多数学家的关注。现在，相关领域的专家已经开始评审论文的内容。

数学家用了几年的时间才完成对Enflo在1987年发表的关于巴拿赫空间的结果的评审。不过，那篇论文长达100多页，所以我们或许可以期待，这篇仅有13页长的新论文的评审进度将会快得多。

如果Enflo的最新结果被证明是正确的，那将会是一个了不起的成就。这将意味着，困扰了数学家们半个世纪之久的不变子空间问题，终于被画上了句点，并且未来还将有望从其结论中产生新的数学。

参考来源：

https://theconversation.com/has-a-mathematician-solved-the-invariant-subspace-problem-and-what-does-that-even-mean-206859

https://arxiv.org/pdf/2305.15442.pdf

封面图&首图：189748 / Pixabay