托马斯·贝叶斯是一位天才的数学家。他因为和牛顿几乎同时发表了有关微积分的论文，于1742年被选为皇家学会会员。在他去世之后才发表的论文《关于如何解决一个概率问题》中，贝叶斯奠定了统计推理方法的基础。按照彼得·伯恩斯坦的说法，这篇论文是一个“令人惊讶的原创作品，奠定了贝叶斯在统计学家、经济学家和其他社会学家中的不朽地位”。

△贝叶斯定理的提出者英国数学家托马斯·贝叶斯（1702-1761）

贝叶斯定理非常简单：当我们根据新信息更新我们的初始结论时，我们获得了新的改进后的结论。在麦格雷恩写的关于贝叶斯的书中，她说：“我们根据客观信息改变意见：初始结论+最新的客观数据=新的改进的结论。”后来的数学家为这个方法的每一步确定了术语。先验概率指初始结论的概率，似然概率指基于最新客观数据得到新的假设概率，后验概率是指新的修改后结论的概率。

麦格雷恩告诉我们：“每次系统会被重新计算，后验概率变成下一轮迭代的先验概率。这是一个演化系统，随着新的信息一点点地增加，结论也越来越接近确定无误。”贝叶斯定律给了我们一个数学方法，去更新我们初始的结论，并改变了相应的概率。

假设你和朋友玩游戏，掷一次骰子得到数字6。直接算出的概率是1/6，即概率为16%。但是假设你的朋友掷了一次骰子，悄悄看过，马上用手盖住，她说：“我能告诉你的就是这是一个偶数。”根据这个新信息，你的概率变为1/3，33%的机会。当你正考虑是否要改变赌注时，你的朋友加了一句：“不是4。”现在你的概率又变为1/2，即猜对的机会为50%。在这个过程中，你已经做了一个贝叶斯分析。每一次新信息都影响了原来的概率。

贝叶斯分析就是尝试把所有可以得到的信息纳入进行推理或决策的过程。在课堂上，贝叶斯分析被称作更为通俗易懂的“决策树”，每一条树枝代表了新的信息，反过来，改变了决策的概率。查理·芒格解释道：“在哈佛商学院，对于第一学年的学生，做得最多的数量化练习就是被他们称作决策树的理论。他们所做的就是将高中所学的代数用于现实生活中的问题。学生们很喜欢这个方法。他们惊奇地发现高中代数在生活中用得着。”

我们已经知道应用这种方法的一个挑战是预测未来的不确定性。概率论和贝叶斯定理帮助我们克服了这种不确定性。而对于折现现金流模型，还有一个批评是对于在非线性世界中运营的公司的经济回报，却采取了线性外推的方法。模型假设在折现的未来数年里，现金增长率将维持在不变的水平。但是这种情况——任何一家公司都能产生可精确预测的不变的回报率，显然是不太可能发生的。经济波动总是上下起伏，消费者是易变的，竞争者很残酷。

投资者如何根据这些可能性对估值进行修正呢？答案是扩展你的决策树，以容纳不同的时间区间和增长率。比如说，你想确定某家公司的价值，已知该公司过去一年现金增长率为10%，你可能很合理地假设该公司在未来5年有50%机会保持同样的增长率，有25%机会达到12%增长率，还有25%机会达到8%增长率。接着，由于经济环境会引发竞争和创新，你可能降低未来第6～8年的增长率假设，假设达到8%增长率的概率为50%，6%增长率的概率为25%，还有25%的概率达到10%增长率。

对于概率的解释可以分为两个大类别。其一是物理概率，更常用的叫法是频次概率，通常与在长时期里可以产生巨量数据的系统在一起，例如轮盘赌、抛硬币、掷骰子和纸牌游戏，但是频次概率也可以包括对汽车事故和人寿的概率估算。是的，汽车和驾驶员是不同的，但在特定地区驾驶汽车的人之间具有足够明显的相似性，能够在几年时间里产生海量的数据，并给出类似频次的解释。

当事件出现的频次在一段时间里不够多，不足以分析结果时，我们必须求助于事件的概率，通常指的是主观概率。重要的是记住，主观概率能在任何情况下使用，即便在不包括随机过程的情况下，作为一种表达“主观”倾向性的方式。根据贝叶斯分析的教科书，“如果你相信自己的假设是合理的，完全可以对某个确定的事件给出一个等于频次概率的主观概率”。你需要做的只是根据合理性，把不合理和逻辑有毛病的筛除掉。

主观概率不是基于精确的计算，通常是由有知识的人做出的合理推断。不幸的是，当涉及金钱，人们并不总是能够保持理性或者懂道理。我们也知道主观概率可能包含了很多个人偏差。

任何时候在使用主观概率时，重要的是记住我们有机会犯的行为金融错误和个人思维偏差。决策树只是在输入有用的时候才起作用，而静态概率——还没有被更新的概率没有多少价值。只有不断根据客观信息更新概率，决策树才能起到作用。

不管是否认识到此点，实际上，决策者所做的决定都是概率练习题。为了成功，重要的是他们对概率的描述应该包括历史记录和最新的数据。这就是贝叶斯分析的用武之地。