英国数学奥林匹克问题不是常规的联立方程

平露看课程学习 2024-11-08 14:44:56

我尝试使用常规的代换法来解决这个问题,但结果却是一个非常复杂的多项式,让我陷入了困境。这让我想到了其他方法来解决这个问题。

你可能想知道我做了什么。继续阅读!

这里有一个挑战:如果a和b都是实数元素,那么它们的值是多少?

你会如何做呢?

拿起笔和纸,尝试一下。我很想在评论中看到你的方法。如果你做对了,就击掌!但如果做错了,也不要着急——跟着做就行了。

如果这个挑战引起了你的兴趣,请查看下面的其他谜题列表!

你准备好了吗?让我们开始吧!

首先,让我们标记一下方程式。

好的!

从第一个等式开始,让我们引入另一个变量k,假设 k 是一个实数。

这不会改变等式,我们可以重新排列它得到如下结果:

从这个等式,我们可以得出a = 1 + k且b = 1 — k。太棒了!

接下来,让我们将a和b的值代入公式 (ii)。

这给了我们:

展开左边这些项的一种方法是使用复活节三角形。展开后,我们得到:

这里的美妙之处在于,如果我们添加这些项,一些项就会被抵消,这样我们就可以得到一个不太复杂的方程。

如果我们将其加起来,结果如下:

美丽的!

让我们重新安排一下

现在,我们可以轻松地分解这个表达式。当我们这样做时,它给出了以下结果:

这意味着k² + 4 = 0或k² — 2 = 0

如果我们考虑k² + 4 = 0,那么k = sqrt(-4)

另一方面,如果我们考虑k² — 2 = 0,那么 k = sqrt(2)。

因此,我们有两个 k 值:sqrt(-4)或sqrt(2)。

记住我们之前做出的假设:k 是实数的一个元素。

这意味着我们拒绝 k 的值作为sqrt(-4)。

k 的值是sqrt(2)。漂亮!

记住我们之前已经建立了这些:

由于 k 有两个值,因此会有两对可能的值满足该方程。

对于第一对,我们有这样的:

对于第二对,我们有这样的:

太棒了!

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