本篇是对利率一章的延伸和补充。贴现是本章的重点。这些数字使我们能够将未来收到的现金流与其今天的价值联系起来。一种证券的价格表明未来时间T的现金流Y等于今天的现金流X。适用于到期日T的贴现因子是我们乘以Y得到X。
我们展示了如何从国债中提取贴现因子。我们还解释了一价定律，以及采用该方法进行套利。我们介绍了国债，零息债。我们描述了美国国债的报价方式，并讨论了固定收益市场中使用的一些计息基准。我们还区分“净价”和“全价”债券价格。我们的讨论集中在美国交易的债券。在许多其他国家也有类似的交易。然而，定价和报价的惯例可能因国家而异。
一、美国短期国债（Tresury Bill）
美国短期国债是政府为满足短期资金需求而发行的工具。到期时间一年或一年以下，定义如下：
①票面价值（也称为本金或票面价值）
②到期日
美国短期国债持有人在到期日收到面值。表9.1显示了2018年3月9日美国短期国债的报价。买价（bid）给出了做市商准备购买美国国债的价格。卖价（ask）给出了做市商准备出售美国短期国债的价格。
定义Q为美国短期国债的报价价格，C为现金价格。后者是适用于面值为100美元的国债的价格。C和Q之间的关系是
以上公式也可改写为：
式中，n是国债到期前的日历日数。为了理解这些公式，我们首先注意到Q是衡量国债利率的指标。如果n=360（美国短期国债有360天到期日），现金价格为100-Q。买方将支付100-Q的短期国债，并在360天内收到100-Q。报价Q是在360天期限内获得的利息占面值的百分比。当n<360时，n天内获得的利息按比例缩小为Qn/360。
会有两种特殊情况。第一，Q衡量360天期间的利息，尽管大多数投资者会选择计算全年的利息。第二，利息是按票面价值的百分比计算的，尽管大多数投资者会选择将赚取的利息计算为国债支付金额的百分比。在360天内获得的利息占支付金额的百分比为
更一般地说，n天内获得的利息占支付金额的百分比为
这些利率可以经过调整，使其成为365天的利率（而不是360天的利率），方法是乘以365/360。这是利率市场中使用的报价惯例的一个例子。这些报价惯例是多年前确定的，当时交易者既没有电脑，也没有手动计算器。因此，最简单的方法是以360天为周期进行计算，并以面值的百分比计算利息。
为了说明美国短期国债的计算，请参考表9.1中2018年6月7日的美国短期债券。买价报价是1.640，卖价报价是1.630。2018年3月9日至2018年6月7日期间为90天。根据上述公式，现金买价和现金卖价分别为
这表明投资者可以将美国短期国债以每100美元面值99.5900美元的价格出售给做市商，并以每100美元面值99.5925美元的价格从做市商手中买入美国短期国债。请注意，在第一种情况下，做市商以买入价买入，在第二种情况下，做市商以其卖出价卖出。中间价是买入价和卖出价的平均值。在这种情况下，它是99.59125美元（=0.5×（99.5900+99.5925））。请注意，当买入报价大于卖出报价时，买入现金价格小于卖出现金价格。
我们刚刚考虑的美国短期债券为我们提供了一种将90天内收到的现金价值转换为今天价值的方法。例如，2018年6月7日收到的100万美元价值为2018年3月9日的995,912.50美元。另一种说法是，2018年3月9日的90天贴现率为0.9959125。如果2018年3月9日持有1000美元，未来价值（基于中间价折现率）为
二、美国长期国债（Treasury Bonds）
我们现在考虑美国长期国债。美国短期国债从发行之日起持续不到一年，而长期国债的有效期超过一年。期限在一年至十年之间的债券有时被称为Treasury Notes，但为了保持术语的简单，我们将所有具有息票的国债称为美国长期国债。美国长期国债的定义如下：
①票面价值（也称为本金或票面价值）
②票面利率
③到期日
票面价值是债券持有人在到期日收到的金额。利息付款通常每六个月支付票面利率的一半。例如，如果票面利率为3%，每6个月每1000美元面值支付15美元利息。利息支付日期为到期日、到期日前6个月、到期日前12个月、到期日前18个月等。美国长期国债的到期日通常是每个月15日或月末。
表9.2显示了2018年3月9日部分长期国债的报价。报价是每100美元面值。这些债券的有效期为1周至30年。我们可以假设表9.2中截至2018年3月9日持续时间不足一年的美国长期国债是美国政府前段时间发行的，期限超过一年。它们现在已经接近到期。
与短期国债一样，区分购买长期国债的现金价格和报价是很重要的。就长期国债而言，现金价格是报价加上应计利息。应计利息是在最近的息票日和结算日之间赚取的利息。计算如下：
其中c是下一个利息支付的利息（等于票面价值的票面利率的一半），T是上一个利息支付日和下一个利息支付日之间的日历日数，t是上一个利息支付日和结算日之间的日历日数。
考虑表9.2中2028年2月15日到期的长期国债。票面利率是2.75%。每年2月15日和8月15日支付相当于1.375%（=0.5×2.75%）的利息。所有国债交易在下一个营业日后结算（称为“T+1”结算）。
若债券于2018年3月9日（星期五）购买，则将于2018年3月12日（星期一）结算。2018年2月15日至2018年3月12日的日历天数为25天。2018年2月15日至2018年8月15日的日历天数为181天。这意味着t=25和T=181。因此，每100美元面值的应计利息为：
债券买价为98.7813，卖价98.7969。加上应计利息后，价格变为
这表明做市商准备以98.9712美元买入债券，以98.9868美元卖出债券。换言之，投资者可以将债券以98.9712美元的价格出售给做市商，然后以98.9868美元的价格从做市商手中买入。
债券的报价称为净价，支付债券的现金价格称为全价。全价反映了一个事实，即债券的所有者已经获得了尚未支付的利息。在我们的例子中，债券的所有者获得了下一个息票的25/181，因为息票支付日期之间的181天中的25天将超过上一个结算日期。
交易者喜欢使用报价（净价）而不是现金（全）价，因为它的变数较小。净价格只反映利率变动，而全价则反映利率变动和息票付款日之间应计利息的累积。考虑一个简单的情况，即所有到期国债的利率都是3%。票面利率为3%的债券将按票面价值出售。如果所有到期日的利率继续为3%，债券将继续按面值出售。然而，全价将呈现图9.1所示的模式。在支付息支付利息后，净价等于报价，因为没有应计利息。
随着时间的推移，从一个利息支付日期到下一个，应计利息累积，全价的价格增加。然后，下一次利息一旦支付，它就会下降。
三、卖空头寸
在讨论一价定律(The Law Of One Price)之前，先解释卖空头寸。假设一个投资者指示经纪人做空100股目前每股价值50美元的股票。经纪人将从拥有股票的投资者那里借入股票，然后在市场上出售。在某个阶段，投资者必须购买已借入的股票，这样经纪人就可以在被借股票的人的账户中进行置换。通常，当借入股票或其他资产做空时，会收取少量费用。卖空的投资者必须支付被卖空证券的任何收入（如股息或利息）。这项收入将转给证券借出人。再想一想，当价格为每股50美元时，一个投资者做空了100股股票。假设两个月后，股价下跌至每股40美元，一个月后每股派发股息2美元。如果投资者在两个月结束时了结空头头寸，则投资者每股收益8美元，或总计800美元。这是因为100股股票以每股50美元的价格出售，这些股票以每股40美元的价格回购，2美元用于支付股息（假设不收取股份借款费用）。投资者获利是因为股票价格大幅下跌。如果股票价格上涨，投资者就会亏损。请注意（假设不收取借款费用），在两个月结束时做空股票并平仓的投资者与在两个月结束时买入并卖出股票的投资者的处境相反。如表9.3所示。
做空的投资者需要在其经纪人处开立保证金账户（包括现金和/或有价证券）。保证金账户确保投资者不会在股价上涨时放弃协议。初始保证金通常为股票价值加上出售股票所得收益的50%。如果股价上涨，这可能会增加。
许多其他资产，如债券，可以像股票一样做空。只要资产能够被借走，投资者就可以维持空头头寸。有时，投资者会被迫平仓空头头寸，因为该资产无法再借出。
四、一价定律(The Law Of One Price)与套利（Arbitrage）
一价定律指出，如果两个投资组合提供相同的未来现金流，它们应该以相同的价格出售。如果一价定律不成立，理论上就有套利机会。为了了解为什么会出现这种情况，假设：
①投资组合X的价格高于投资组合Y的价格；
②它们将在未来的同一时间提供相同的现金流。
这是一个套利机会。首先考虑一个拥有更昂贵投资组合（投资组合X）的交易者。他或她可以卖出投资组合X，买入投资组合Y，获得即时现金流入，同时仍能获得相同的未来现金流。接下来考虑一个交易者，他不拥有这两个投资组合。这个交易者可以简单地做空投资组合X并购买投资组合Y；只要借用投资组合Y的费用不太高，交易者就会锁定利润。
追求套利机会的交易者的存在通常会导致市场价格波动，直到套利机会的存在被消除。在我们的例子中，随着交易者卖出投资组合X和购买投资组合Y，投资组合X的价格将下降，而投资组合Y的价格将上升；这将持续到套利利润消失，一价定律成立。为了说明一价定律，我们将考虑表9.1和9.2中到期日为2018年5月31日的证券。
首先考虑表9.1中的短期国债。报买价为1.630，报卖价为1.620。2018年3月9日至2018年5月31日的日历天数为83天。短期国债的买入与卖出价格为
因此，根据计算的买价贴现因子为0.996242，根据卖价计算的贴现因子为0.996265。
接下来考虑表9.2中三种债券中的第一种，到期日为2018年5月31日。最后一次支付息票的日期是2017年11月30日，从2017年11月30日到2018年5月31日有182天。结算日为2018年3月12日，2017年11月30日至2018年3月12日为102天。因为利息是每年0.875%，应计利息是
买价为99.8125美元。因此，债券的买价现金价格为100.0577美元（=99.8125+0.2452）。卖价为99.8281美元。因此，卖价现金价格为100.0733美元（=99.8281+0.2452）。到期时收到的现金金额为100.4375美元（=100+（90.5×0.875））。因此，根据以上价格计算的贴现因子为：
对于表9.2中于2018年5月31日到期的其他两种债券，也可以进行类似的计算。结果汇总在表9.4中。买卖贴现因子都很接近。在这种情况下，所有的卖价贴现因子都大于所有买价的贴现因子。这表明我们正在考虑的四种工具并没有为投资者提供任何套利机会。因此，不可能通过以卖价购买国债并以买价卖出同等工具来锁定利润。这为一价定律提供了支持。
然而，我们不应假设美国国债市场从来没有任何套利机会。这是因为除了承诺的现金流以外的其他因素有时会在国债定价时被考虑。例如，对债券及其流动性的税务处理在决定价格方面可能很重要。我们现在考虑流动性问题有时是如何违反一价定律的。
五、流动性
流动性是衡量金融工具交易活跃程度的指标。假设两种债券的未来现金流相同。债券X交易活跃，因此流动性很强，而债券Y相对缺乏流动性，一年可能只交易几次。很可能X债券的价格会高于Y债券，这是因为买入X债券的交易员知道，如果有需要，卖出债券并不困难。相比之下，买入Y债券的交易员对未来卖出该债券有多容易并不确定。
套利者可以买入债券Y，卖出（或做空）债券X，由于价格的差异，这将最初产生正现金流。随后，最终从这两种债券头寸中获得的现金流将相互抵消。这是对冲基金长期资本管理（LTCM）遵循的策略的简化版本。简单地说，买入的投资组合的流动性低于卖出的投资组合。这种策略被称为趋同套利，因为两个对开本的价格预期会收敛到相同的价值，因为它们承诺相同的现金流。
在1998年破产前的几年里，长期资本管理公司非常成功。这是因为俄罗斯拖欠债务，造成了对债务的逃避。相对于流动性较差的金融工具，具有流动性的金融工具价值飙升。长期资本管理公司杠杆率很高，无法满足追加保证金要求。
长期资本管理公司利用一价定律建立套利头寸。如果它能够持有这些头寸直到到期，它可能会没事。但该公司及其头寸的杠杆率太高，无法在意外的短期市场波动中生存。长期资本管理公司（LTCM）的故事表明，长期来看是正确的并不足以成功套利；套利者还必须能够在意外的短期价格变化中生存下来。
六、贴现因子
1.贴现因子的计算方法
我们现在展示如何从附息债券中获得贴现因子。这种方法类似于利率篇章中介绍的bootstrap方法（息票剥离法）。然而，这种方法适用于贴现率而不是利率。
我们将重点关注表9.5中列出的债券（表9.2中债券的一个子集）。为了简化分析，我们将使用中间价（即买卖价格的平均值）。表9.5显示了债券市场中部分债券的全价价格（中间价）。考虑表9.5中的第一个债券。表9.2中的买入净价和卖出净价分别为100.8906美元和100.9063美元。中间价净价价格是这两种价格的平均值，即100.8985美元。应计利息为0.2962美元，因此中间价全价为101.1747美元。其他三种债券也进行了类似的计算。
将d（1）、d（2）、d（3）和d（4）分别表示为2018年8月15日、2019年2月15日、2019年8月15日和2020年2月15日的贴现因子。
第一支债券可以直接用来求d（1）。债券最终现金流为102美元（=100+（0.5×4）），无中间现金流。因此，贴现因子为：
第二支债券于2018年8月15日提供1.375美元（=0.5×2.75）的现金流，并于2019年2月15日提供101.375美元（=100+（0.5×2.75）的最终付款。因此，债券的价值为：
我们已经计算了d（1），我们知道该债券的价值是100.8071。为了求d（2），我们可以解
类似地：
0.991909×0.375+0.980944×0.375+d（3）× 100.375=98.0440
由此得出d（3）=0.969406。同样地，可以计算d（4）=0.956909。表9.6总结了这些贴现因子。
2.债券现金流的复制
表9.2中另一种于2020年2月15日到期的债券为8.5%附息债券，买入净价为111.8906美元，卖出净价为111.9063美元，中间净价为111.8985美元（=0.5×（111.8906+111.90631）。加上应计利息，全价（现金）价格为112.4855美元。分析师可能会对这种债券是否定价错误感兴趣。对此进行分析的一种方法是使用表9.5中的债券复制债券的现金流。债券的现金流如下
在表9.5中，只有第四支债券能在2020年2月15日提供现金流。到目前为止，它提供了101.8125的现金流。如果我们采取以下第四支债券头寸
【注】复制的现金流为104.25，由第四支债券提供。
在债券中，我们复制了最终的现金流。现在考虑2019年8月15日，我们必须在该日复制的现金流为4.25美元。刚刚在第四支债券中计算的头寸为1.8559美元（=1.023941×1.8125）。因此，我们需要2.3941美元的额外现金流（=4.25-1.8559）。在剩下的三支债券中，只有第三支在2019年8月15日有现金流。当日现金流为100.375美元。因此，我们需要该第三支债券头寸为
【注】复制的现金流为4.25，由第四支债券和第三支债券提供。
接下来，我们考虑2019年2月15日。第三和第四支债券的现金流为1.8648美元（（1.023941 ×1.8125）+（0.023852× 0.375））。因此，我们需要2.3852美元的额外现金流（=4.25-1.8648）。因此，第二支债券所需的头寸为
【注】复制的现金流为4.25，由第四支债券、第三支债券和第二支债券提供。
同样，第一支债券的头寸为0.023066。
表9.7总结了这些计算结果，并显示，复制2020年2月15日8.5%附息债券的成本为112.26232美元，与债券的112.4855美元中间市场价格略有不同。这表明，潜在的套利将涉及做空债券，并复制投资组合如表9.7所示。我们计算的数值是对应票面价值100美元的债券。在进行套利时，我们可能会复制1000万美元的债券头寸，做空1000万美元的债券面值。
请注意，从附息债券中确定贴现因子涉及从最短期限债券开始，并逐步考虑更长期限的债券。以我们刚才描述的方式复制债券的现金流涉及到相反的情况；我们从复制最长期限的现金流开始，然后反向工作。
七、本息分离债券（STRIPS）
STRIPS是证券登记利息和本金分开交易的缩写。当附息债券交付给财政部并用其本金和息票组成部分进行交换时，投资交易商就创建了STRIPS。利息支付的部分被称为TPs、INTs或C-STRIPS。由本金支付的部分被称为TPs、Ps或P-STRIPS。
以2030年5月15日的债券为例，其票面利率为6.25%，如表9.2所示。面值为1,000,000美元的债券每年5月15日和11月15日提供31,250美元的息票，最终本金支付为1,000,000美元。如表9.8所示，这将被转换成25个C-STRIPS和1个P-STRIPS。
表9.9给出了2018年3月9日部分C-STRIPS和P-STRIPS价格样本。价格提供了贴现利率的直接估计。例如，2047年11月15日P-STRIP的报买为38.945美元，报卖价为39.059美元。因此，该日期的中间价贴现利因子为0.39002（=0.5×（0.38945+0.39059））。该表显示（理论上）2018年3月9日存在一些套利机会。例如，可以用92.426美元购买2021年5月15日的C-STRIPS，并以92.499美元的价格卖空2021年5月15日的P-STRIPS。然而，交易成本可能会抵消这一头寸带来的任何收益。
八、计息基准
日计息准则描述了通过时间获得利息的方式。我们通常知道在一个参考期间（例如，息票支付之间的时间或一整年的时间）赚取的利息金额，并且我们想知道在一个特定的持有期内获得的利息。
日计息准则通常表示为X/Y。X定义如何度量保持期时间间隔；Y定义如何度量基准周期的长度。持有期间的利息计算如下：
三种常见的日计息准则是
①实际/实际（周期内）
②30/360
③实际/360
【注】实际/实际（期间内）日计息准则适用于美国长期国债。
假设持有期只是两个利息支付日之间的一部分。投资者获得的下一次利息支付的利息是持有期除以利息支付日之间的实际天数。
在美国，公司债券和市政债券采用30/360天计数惯例。这意味着计算过程假设每月30天，一年360天。例如，假设每年利率为10%的附息债券在3月5日和9月5日支付，我们想知道3月5日至6月10日期间获得的利息金额。公约假定3月、4月和5月为30天（因此3月5日至6月10日之间有95天）。1000美元一年的利息是1000美元的10%（或100美元）。3月5日至6月10日期间的美元利息为
30/360天计数惯例的一个有趣的结果是，在2月28日至3月1日期间（闰年和非闰年），可以获得三天的利息。同时，每月31日不计息。
美国货币市场工具采用实际/360天计数惯例。报价利息为每360天一次，持有期内的实际天数用于计算持有期内赚取的利息。正如我们在第一节中看到的，更复杂的是，利息是按面值的百分比计算的（而不是支付金额的百分比）。各国的惯例各不相同。例如，在加拿大、澳大利亚和新西兰，货币市场工具的报价是以实际/365为基础的。除英镑外（英镑的报价为实际/365），所有货币的伦敦银行同业拆借利率均以实际/360为基础报价。
【全文大总结】
贴现因子描述了未来某个时间收到的现金流价值与今天现金流价值之间的关系。它们可以直接从国债、P-strip和C-strip的价格中计算出来。
对于一组附息债券，有必要按到期顺序列出这些债券。我们从最短期限债券开始，计算到期日逐渐变长的债券的贴现因子。当考虑清单中第n支债券时，除最后一支外，所有付款的贴现因子都已计算出来。因此，最终付款的贴现因子可由债券价格确定。
一价定律指出，未来同时提供相同现金流的两个投资组合应该是相同的价格。如果它们的价格不一样，就有套利机会。交易者可以做空价格较高的投资组合，购买价格较低的投资组合。在实践中，有许多因素会导致定价差异。这些因素包括相对流动性、税收问题和交易成本。
债券的现金流可以从债券支付日到期的其他债券的现金流中复制。这使分析师能够检查不同债券定价的一致性。
