一位真正才华横溢的默默无闻的女性

露丝·穆芳 (Ruth Moufang) 在数学界默默无闻。她比阿玛莉·埃米·诺特 (Amalie Emmy Noether) 年轻一代，后者无疑是 20 世纪最伟大的数学家之一。请注意——最后一句没有提到女性这个属性。如果你问任何有历史知识的专业数学家（而不是任何科学历史学家）谁是 20 世纪的伟人——某个时期——阿玛莉·埃米·诺特 (Amalie Emmy Noether) 的名字总是与亚历山大·格罗滕迪克 (Alexander Grothendiek) 等人齐名。

但是露丝·穆方是八元数（一个八维数字系统）的女王，她研究了为什么这个系统是数字概念所能达到的最远距离。我认为我并不是唯一持这种观点的人，因为我读过很多深受尊敬的数学史学家的作品，包括我敬爱的导师约翰·斯蒂尔威尔教授。露丝·穆方并没有发现八元数——那是由阿瑟·凯莱和约翰·格雷夫斯在一百年前的19世纪40年代中期独立发现的。但是她和阿道夫·赫尔维茨一起，是第一个深入研究八元数的人，它们到底是谁、是什么。她的问题与赫尔维茨的问题不同，但他们都深入研究了八元数和性质的基本问题。毫无疑问，他们是第一个真正阐明八维数字的崇高数学的人。

与埃米·诺特不同，露丝·穆芳的毕生成果要少得多。但她成果虽少，却意义非凡。“不幸的是”，它们将我们引向了不可逾越的边界，而且准确地告诉我们为什么这个边界无法跨越。我把“不幸的是”这个词放在引号里，因为对我来说，数学有能力了解自己的缺陷和局限性，这一事实使得数学在其不完美中完美无缺、美得令人惊叹。正是这一宏伟的系统告诉我们自身的缺陷，才值得研究。也许我应该写“最奇妙”，而不是“不幸的是”。

露丝·穆芳的著作与数学的关系有点像库尔特·哥德尔的著作，后者证明了数学（更准确地说，皮亚诺算术或任何包含皮亚诺公理的系统）无法证明是完备的，也就是说，总有一些真陈述无法从公理中得出。因此，哥德尔的著作终结了建立数学可以在纯公理基础上运作的探索，从而结束了数学的一个篇章。

感谢 Ruth Moufang 和 Adolf Hurwitz，我们现在知道八元数、汉密尔顿四元数和复数是高维数的唯一可能，它是实数的扩展伪场。我将在本文和下一篇文章中对“伪场”进行精确定义。

八元数是数字宇宙的边缘，而露丝·穆方（Ruth Moufang）触及了那个边缘。

数字和字段的扩展

具体来说，Ruth Moufang 的作品探索了数字系统的扩展，以及它们可以走多远。要理解她的工作，我们必须首先了解数字系统和形式数学系统的扩展，以及人们为什么要研究它们。

我们都认为我们理解的实数ℝ （但我一直觉得它处于理智的边缘，甚至超越了理智的边缘）可以被认为位于由更基本的系统构建的扩展塔中。

因此，我们从自然数 ℕ 开始，包括 1、2、3……。我们使用“ n ”表示“自然数”，即芝麻街的计数器。然后我们提出一个问题：当a和b已知时，对于“未知”的x ，我们需要什么来解形式为x+a=b的方程？对于x+ 3 = 5的情况，自然数就足够了，但是对于x+ 5 = 3 的情况呢？

因此，我们得到了整数 ℤ（我们使用来自德语Zahl “数字”的 zed，与英语“Tally”同源），即自然数以及零和负整数。零是加法恒等式，即当它与某个数相加时，它不会改变某个数。负数是相应数的加法逆元。我们必须将它添加到某个数上才能撤消加法。因此，如果我们将三加到一个数上得到五，x+ 3 = 5，那么我们必须添加负“像”来撤消此操作并恢复我们的x。因此，明确地，我们解方程x+ 3+(-3) = 5+(-3) ⇒ x= 2。同样，加上零和负数，x+ 5 = 3 由x =-2解出，具体来说，x必须是 2 的加法逆元。

有一个复杂而混乱的形式扩展过程，将负数定义为形式为 3 + -5≋4 + -6≋2+ -4 的对的等价类……并将这些类压缩为唯一实体（如本例中的“-2”）。但最后一段是基本思想。它的直觉对几乎所有活着的人来说都是一目了然的：无论是好是坏，它都使基于债务的货币体系以及自古以来从该发明中产生的所有灾难成为可能。我们的现代系统缺乏 Jubilee 的安全阀，是负数概念的一个更纯粹的直观例子。

将自然数扩展为整数意味着我们可以使加法可逆，或可逆。

因此加法可以保存信息。你总是可以通过添加逆元来恢复被加的数，从而明确地恢复原始数。

除了自然数之外，还有另外两种主流“扩展”定义了重要的数字系统。它们是：

有理数 ℚ 是整数 ℤ 的精确且唯一的最小扩展，使乘法和加法可逆，且乘法分布在加法上，从而给出特征为 0 的最小可能域和最小可能无限域。此外，有限域的唯一可能性是其特征必须是素数p，并且它由数字 {0,1,2,3,…, p- 1} 以及模p加法和模p乘法组成；实数 ℝ 是有理数 ℚ 的精确且唯一的最小扩展，以保证度量完备并确保每个柯西序列都相对于“习惯的”欧几里得范数收敛。（亚历山大·奥斯特罗夫斯基还证明了存在关于p -Adic 范数的度量完备，这些与欧几里得范数一起构成了有理数可能的所有度量完备的宇宙）；

以及实数的三个外延：

复数 ℂ 是实数 ℝ 的精确且唯一的最小扩展域，可确保代数基本定理，即每个多项式至少有一个根。与实数一样，复数也是一个域，这意味着 (ℝ,+) 和 (ℝ,.) 都是阿贝尔群，乘法"." 可对加法进行分配。复数满足代数基本定理及其大量令人惊叹且多样的证明，因此是代数上最小的封闭域，因此通常被视为数字的最终概念；但是，如果我们放宽场定律要求，还存在另外两种可能性。如果我们允许乘法不交换，那么复数 ℂ 可以扩展到四维四元数 ℍ（以爱尔兰数学家和博学家威廉·罗恩·汉密尔顿命名），它有三个独立的虚数单位（-1 的平方根）i、j和k，其中形式为z ₀= a+b i∈ ℂ 的多项式的每个根都变成形式为a+b ᵢ i+b ⱼ j + b ₖ k的根的单位 2 球面，其中b ᵢ² +b ⱼ²+ b ₖ²=1。单位量级四元数，形式为 exp( a ᵢ i+a ⱼ j + a ₖ k ) 的数（即纯四元数的指数），具有乘法运算，是非交换的三维李群 SU(2)，它取代了交换的、一维单位量级复数 exp( i ) 圆群。四元数是一个斜域，即乘积非交换的域。四元数 ℍ 也是凯莱-迪克森构造将复数 ℂ 的维度加倍而得到的结果；如果我们像 Ruth Moufang 所研究的那样，允许乘法不交换，并满足较弱的结合律，即交替律或交替性（我喜欢称之为“粘性乘法”），那么Cayley-Dickson 构造将产生八维交替除法代数，即八元数 。八元数通常表示为 ，但由于这不是通用的，请允许我在文章中使用 ，以纪念 Ruth Moufang，这是一种类似于 ℍ 的恰当纪念，代表“汉密尔顿”。八元数和乘法不再是一个群，因为结合律被交替律取代，但它们保留了四元数李群的大部分重要结构。八元数和乘法不是形成李群，而是形成一个解析交替穆方环，其相关穆方李代数与李代数完全类似，使得单位八元数的 7 球面变成具有 7 维穆方李代数的光滑穆方环，因此几乎完全类似于单位四元数的李群 SU(2)。

然后，感谢 Ruth Moufang 和 Adolf Hurwitz 的工作，我们知道不可能存在其他数域概念，我将在下一篇文章中展示！

保存信息的最小结构

但我们首先要关注的是 Ruth Moufang 的第一个发现，当时她关注的是最小结构，以便能够不丢失信息地求解方程a . x=b 。她的工作拓宽了群的概念，通常群被认为是这种最小结构。

整数ℤ 与加法 + 一起形成一个群，这是数学中的基础概念。

群 (,.) 是由集合 与运算 . 组成的，并且：

集合 在运算下是封闭的。也就是说，如果an和b属于集合 ，那么ab也属于集合 ，我们的运算不会产生任何新的东西。有一个恒等元素，即e。对于具有加法的整数群 (ℤ, +)，恒等式为 0。对于具有乘法的有理数群 (ℚ, ×)，恒等式为 1。在 ℤ 中，0 不会改变与其相加的整数，在 ℚ 中，1 不会改变与其相乘的有理数。在我们更一般的符号中，ea=a。对于每个元素a ，都有一个逆元素a -1 可以撤销该操作。即aa -1=1。在具有加法的整数群 (ℤ, +) 中，a的逆是 - a 。在具有乘法的有理数群 (ℚ, ×) 中， a的逆是 1/ a。（对本文至关重要）：该运算具有结合性。这意味着，在多次应用该运算时，应用顺序无关紧要，因此我们不需要使用括号。即 a.(bc)=(ab).c；无论我们先右乘b乘以c再左乘结果乘以a，还是先进行左乘，都没有关系（请注意，群论家通常将群运算简称为“乘法”或“乘法”）。

请注意，该运算可能是也可能不是交换的。在一般群中，ab并不总是与ba相同，尽管我们经常将 . 或 *（两个常用于抽象群运算的符号）简写为“乘”。矩阵乘法不是交换的。但如果该运算是交换的，我们称该群为阿贝尔群。在本文和下一篇文章中，我们不会再讨论阿贝尔群。

仅从四个群公理就可以得出四个重要事实：

每个右身份也总是左身份，反之亦然；每个左逆也是右逆，反之亦然；群体身份是唯一的； 并且给定元素的逆也是唯一的。

对于本文，我们需要承认群的一个关键特性，但遗憾的是，它经常没有被强调，可以非正式地表述如下：

群组是行动期间保存信息所需的最小结构

这意味着，每当我们对群成员进行运算时，比如我们将x乘以a得到ax=b，我们总是可以唯一地恢复我们原来的群成员x作为a -1. b。

我将通过证明该陈述来说明我的意思！人们通常不会在严格的定义之前做出证明，但是，我还是要说一下。

我们先试着去掉公理 1。这样ab=c的结果就可以超出所考虑的集合 ，因此c与其他元素的乘积甚至可能没有定义，而且无法仅使用 . 运算来反转这个等式。所以我们当然不能放弃公理 1！

让我们尝试去掉公理 2。这意味着一定存在形式为ax=a的方程，且在 中没有解x。因此并非每个所需形式的方程都是可解的。糟糕！

让我们尝试摆脱公理 3。这意味着必须存在形式为ax=e的方程，且在 中没有解x。同样，并非每个所需形式的方程都是可解的，再次：大错特错！

现在事情变得有趣了。我们如何解决xa=b？让我们先右乘两边a -1。毕竟，我们刚刚看到一定有一个元素a -1 使得aa -1= e。因此，我们得到 ( xa ) .a -1= ba -1。但现在看看左边。如果没有结合律，我们就不能简单地将 ( xa ) .a -1 简化为x.(aa -1)= xe=x。我们没有办法继续下去。

因此，结合律是使唯一方程解成为可能的一个可能的基本公理。如果我们去掉结合律，我们就不能再解形式为xa=b或ax=b的一般方程。所以，是的，结合律在这里是必不可少的。但它不是唯一可能的基本要素。这就是 Ruth Moufang 介入的地方。

与其他群公理不同，还有其他更弱形式的结合律可以替代结合律，以允许形式为x*a=b或a*x=b的方程唯一可解。

实际上，我们只需要 ( xa ) .a ⁻¹= x. ( aa ⁻¹) 以及a ⁻¹.( a . x )=( a ⁻¹. a ). x，即元素幂的结合律： ( xa ⁿ) .a ᵐ= x.(a ⁿ .a ᵐ)= xa ⁿ⁺ᵐ 和a ⁿ.( a ᵐ. x )= a ⁿ⁺ᵐ. x，然后等式就有解了。更完整地说，Ruth Moufang 用四个 Moufang 恒等式取代了结合律：

z. ( x. ( zy )) = (( zx ). z ). yx. ( z. ( yz )) = (( xz ). y ). z( zx ). ( yz ) = ( z. ( xy )). z( zx ). ( y. z ) = z. (( xy ). z )

这些正是使左和右身份独特且相同所需要的。正如我下面解释的那样，实际上在某种意义上我们只需要其中一个身份，其他所有身份都会随之而来。

利用这种最小弱结合律，我们可以唯一地求解形式为a . x = b和x . a = b 的方程，而且逆a -1 是唯一的（独立于b和x而仅取决于a），并且单位元也是唯一的，即，只有一个a -1 使得x=a -1. b可以求解ax=b和/或a -1 可以独立于右边求方程的逆，即，当b≠c 时，我们永远不需要不同的a -1 来求解ax=b和ax=c 。

因此，Moufang 循环是最小结构，比“保存”信息的组更通用，即我们始终可以唯一地撤消组操作。

因此，每个群都是一个 Moufang 环，但有些 Moufang 环（例如带有乘法的八元数）不是群。因此，有一些重要的、非平凡的 Moufang 环例子不是群。

如果您很难理解这些概念，如果我们感到脾气暴躁且具有破坏性，我们可以为“破坏者 Shiva”定义一个操作 ∫（因为 ∫ 是德语中“sh”或“sch”的音标）！它的破坏性意味着它不是很有趣，因为我将定义a ∫ b =1，始终如此。也就是说，任何数字与任何其他数字进行 Shiva 运算都会产生常数 1。这是一个定义完美的操作，它甚至是结合性的。但它会破坏信息：由于任何 a与b进行 Shiva 运算都会产生相同的结果，因此我们不知道b是什么，方程式也不会提供有关其未知数的信息！我们将在下一篇文章中看一个类似 Shiva 的操作示例，该示例解释了为什么八元数是可能的最高维数概念。

几个相关结构

在详细研究八元数之前，我们需要解决有关信息保存的最小结构这一问题的一些微妙之处。有几个非常密切相关的概念必须小心区分。

首先，有一个拟群的概念，可以赋予它一个“法定”定义，即一个具有一个二元运算 * 的集合 的结构，其中a*x =b和y*a=b始终具有唯一解x和y。唯一性是法定的 — 我们只接受定义中具有唯一性的结构。但左手和右手解不必相同，并且一般来说，我们有x≠y。

拟群的一个等价定义是既是左拟群又是右拟群的实体：

对于左拟群，我们的集合 有两个二元运算：“乘法”* 和左除法 \，这样对于任何x、y， x*(x \ y)=x \ (x*y)=y 。也就是说，左侧元素的乘法和除法，无论以何种顺序，都没有效果；对于右拟群，我们的集合 有两个二元运算：“乘法”* 和右除法 /，使得对于任何x、y， (y / x ) *x=(y * x )/ x=y 。也就是说，右侧元素的乘法和除法，无论以何种顺序，都没有效果；

对于完全拟群，无论以何种顺序在左侧或右侧进行乘法和除法均无影响。但请注意，即使存在左右逆元且每个逆元都是唯一的，它们也可能不是同一元素。

其次，循环只是一个既有左恒等式e ₁ 又有右恒等式e ₂ 的拟群。这个公理立即意味着左恒等式和右恒等式必须相同并且恒等式是唯一的。对于e ₁. e ₂= e ₂（如果我们将e ₁ 视为e ₂的左恒等式），并且对于e ₁. e ₂= e ₁（如果我们将e ₂ 视为e ₁的右恒等式），因此左恒等式和右恒等式相等e ₁= e ₂= e，并且几乎相同的论证表明任何恒等式都必须等于e，因此恒等式必须是唯一的。根据 fiat 拟群定义，左逆和右逆也是唯一的，但不必彼此相同。

还有两个不同的概念，即左 Bol 循环和右 Bol 循环。这些结构由一组左或右（分别）乘法和第二个左或右（分别）除法运算组成，因此，无论以何种顺序进行左乘法和左除法，都不会产生影响，右乘法和右除法也是如此。

Moufang 环路是由 Ruth Moufang 发现的，简言之，它是一种同时是左 Bol 环路和右 Bol 环路的环路。

这意味着左乘和右乘是相同的运算，左除和右除也是相同的运算。此外，乘法逆元是唯一的（根据 Moufang 循环公理证明这一点——记住，只有结合性较弱——通过假设两个元素b ₁、b ₂，都满足逆元b ₁的角色。a =b ₂。a =e）。

因此，穆方循环满足上述群公理 1 至 3，但它具有更弱、更一般的结合性概念，称为替代性（另请参阅此处）。穆方循环也是双结合的：也就是说，在穆方循环中由任意两个元素生成的子循环中，受限乘积变为结合的，因此由两个元素生成的唯一子循环实际上是群。

这里还有另一个重要事实：任何满足 Moufang 恒等式之一的拟群都必须有一个恒等式，因此是一个 Moufang 环，从而满足所有四个 Moufang 恒等式。

但 Moufang 环路并不是 Ruth Moufang 的主要工作。她发现它们只是为了研究八元数 的几何形状，并帮助阐明为什么八元数是数字概念的“最后前沿”，以及为更高维度的 Desargue 定理提供真正令人惊讶的几何反例。现在让我们更详细地探讨八元数的一些细节以及她的发现。