​​​​​

这是一道海口某小学六年级数学竞赛题，如图一

图一

在等腰直角三角形ABC中，BD=2AD，△DEF也是等腰直角三角形，S△DEF=15，求三角形ABC的面积。

笔者此前已经以“微头条”和图文形式，分别讨论、并分析过此题！本文旨在不使用三角形全等和勾股定理的前提下给出其“不超纲解析”

一、题目分析

★有人说题目错了，也有人说超纲了！

家长群里议论纷纷，很多家长朋友认为：

①题目错了，大概率遗漏了条件“E为AC中点”；

②即便已知“E为AC中点”，也非使用勾股定理和三角形全等等超纲知识不可？

★是否遗漏了条件“E为AC中点”？

使用三角形全等，不难证明：E为AC中点！故此题无误，也并没遗漏条件！

但即便是中学生，也未必能做出来！

★作为小学竞赛题，为了降低难度、最好将“E为AC中点”作为已知条件！

★是否非用三角形全等和勾股定理不可？

不用三角形全等和勾股定理也能求解！

★难点：不使用三角形全等和勾股定理等初中知识，如何求解？

利用图形旋转和图形对称性，或可求解！

二、适合小学生的解析

第一步：说明E为AC中点（不使用三角形全等）

①过点E分别作AB和BC的垂线EG和EH，如图二

图二

②将△DEG绕点E逆时针旋转90°至DE与EF重合，旋转后的△DEG记为△FEG'。

③注意到注意到∠DEF=∠GEH=90°，故∠EDG=∠EFH。

④∠EFG'=∠EDG=∠EFH，故G'必在BC上，也即G'与H重合。

⑤因此旋转后的△DEG、与△FEH重合，从而EG=EH，DG=FH，且四边形BGEH为正方形。

⑥连接BE（如图二），则∠EBG=EBH=45°，从而BE垂直AC，因此E为AC中点。

第二步：说明AD=BF（不使用三角形全等）

①由第一步可知E为AC中点，故AG=BH。

②由①及第一步⑤中DG=FH，可知AD=BF。

第三步：求S△ABC（不使用勾股定理）

①以AB和BC为边作一正方形ABCP，如图三

图三

②延长DE、FE，分别与CP和AP相交于点M各N，如图三

③连接DN、FM和MN，则DFMN为正方形。

④S正方形DFMN=4S△DEF=60。

⑤记AD=a，则S正方形ABCP=9a×a。

⑥S正方形DFMN=S正方形ABCP-4S△BDF=9a×a-4a×a=5a×a=60，也即有a×a=12。

⑦S△ABC=9a×a÷2=54！

——————————

友友们，怎么看？欢迎留言分享！